Considere a equação f(x)=x+e^x=0. Usando interpolação inversa, determine uma aproximação para a solução de barx da equação f(barx)=0, considerando os pontos x0=-1, x1=-1 / 2 e x2=0.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é achar a raiz da equação
f(x) = x + e^x = 0
por interpolação inversa usando os três pontos
x0 = -1, x1 = -tfrac12, x2 = 0
Conteúdo: Interpolação de Newton em forma inversa (a gente vê f[yi,yj] = xj - xiyj - yi, f[yi,yj,yk] = f[yj,yk] - f[yi,yj]yk - yi como variável independente e interpola x(y) = x0 + f[y0,y1],(y - y0) + f[y0,y1,y2],(y - y0)(y - y1) em função de ).
O que vamos precisar:
  1. Calcular .
  2. Montar as diferenças divididas inversas
  1. Escrever o polinômio de Newton inverso
e avaliar em .

Passo 2

Primeiro, calculamos
yi = f(xi) = xi + e^xi
Para cada ponto:
y0 = f(-1) = -1 + e^-1 approx -1 + 0.367879 = -0.6321206,
y1 = f(-tfrac12) = -0.5 + e^-0.5 approx -0.5 + 0.606531 = 0.1065307,
y2 = f(0) = 0 + e^0 = 1

Passo 3

Agora, montamos as diferenças divididas inversas:
  1. Primeiras diferenças:
f[y0,y1] = x1 - x0y1 - y0 = -0.5 - (-1)0.1065307 - (-0.6321206) approx 0.50.7386513 approx 0.6770,
f[y1,y2] = x2 - x1y2 - y1 = 0 - (-0.5)1 - 0.1065307 approx 0.50.8934693 approx 0.5598
  1. Segunda diferença:
f[y0,y1,y2] = f[y1,y2] - f[y0,y1]y2 - y0 = 0.5598 - 0.67701 - (-0.6321206) approx -0.11721.6321206 approx -0.07182
Logo, o polinômio inverso de Newton fica
x(y) = x0 + f[y0,y1],(y - y0) + f[y0,y1,y2],(y - y0)(y - y1)

Passo 4

Basta avaliar em x(0) = -1 + 0.6770,(0 - (-0.6321206)) - 0.07182,(0 - (-0.6321206)),(0 - 0.1065307) :
0.6770 times 0.6321206 approx 0.4280, (0 - (-0.6321))(0 - 0.10653) approx 0.6321 times (-0.10653) = -0.06731,
Calcule por partes:
-0.07182 times (-0.06731) approx 0.00484
x(0) approx -1 + 0.4280 + 0.00484 = -0.56716
Somando tudo:

Resposta

A aproximação da raiz boxed-0.56716 de por interpolação inversa nos pontos dados é aproximadamente

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