Considere a equação
.
- Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
- Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que
.
- Calcule uma das soluções com erro menor que
usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.
Passo 1
Resumo da questão: a gente precisa resolver numericamente a equação
Conteúdo: localização de raízes (usando o Teorema do Valor Intermediário), método da bissecção (e sua estimativa de erro), e método de Newton (convergência quadrática). Para isso, vamos usar avaliação de sinais de
, fórmula do método da bissecção e estimativa
e a fórmula de Newton
Passo 2
Localização e isolamento da raiz real:
- Calculo de sinais:
Como
e
têm sinais opostos, por TVI há pelo menos uma raiz em
. Para afinar, verificamos também em
:
logo a raiz real está em
.
Passo 3
Número de iterações da bissecção para garantir erro
:
A estimativa de erro após iterações é
A estimativa de erro após
Aqui
. Então
Arredondando para cima, precisamos de
iterações.
Passo 4
Calcular a solução com erro
por dois métodos e comparar iterações:
a) Bissecção:
Usando o mesmo intervalo , queremos
Usando o mesmo intervalo
logo são necessárias
iterações.
b) Newton:
Escolhemos . A fórmula é
Escolhemos
Iterando até
:
-
-
-
-
-
com diferença menor que .
Foram 5 iterações de Newton.
Resposta
Raiz aproximada:
Iterações para erro
(bissecção): 13 iter.
Iterações para erro :
Iterações para erro
- Bissecção: 19 iter.
- Newton: 5 iter.