Considere a equação x^3-x+1=0.
  1. Localize, e se possível isole, a(as) raíz(es).
  2. Escolha uma aproximação inicial e determine quantas iterações do método da bissecção serão necessárias para garantir que temos uma aproximação com erro menor que 10^-4.
  3. Calcule uma das soluções com erro menor que varepsilon=10^-6 usando os métodos estudados e compare o número de iterações necessárias.

Passo 1

Resumo da questão: a gente precisa resolver numericamente a equação
x^3 - x + 1 = 0
Conteúdo: localização de raízes (usando o Teorema do Valor Intermediário), método da bissecção (e sua estimativa de erro), e método de Newton (convergência quadrática). Para isso, vamos usar avaliação de sinais de |en|<= b-a2^n, , fórmula do método da bissecção e estimativa
xk+1=xk - f(xk)f'(xk), f'(x)=3x^2-1
e a fórmula de Newton

Passo 2

Localização e isolamento da raiz real:
  1. Calculo de sinais:
f(-2)=(-2)^3-(-2)+1=-8+2+1=-5<0, f(-1)=(-1)^3-(-1)+1=-1+1+1=1>0
Como f(-1.5)=-3.375+1.5+1=-0.875<0, f(-1)=1>0, e têm sinais opostos, por TVI há pelo menos uma raiz em . Para afinar, verificamos também em :
logo a raiz real está em .

Passo 3

Número de iterações da bissecção para garantir erro b-a2^n<=10^-4 :
A estimativa de erro após 2^n>= 0.510^-4=5000 ;Longrightarrow; n>=log2(5000)approx12.29 iterações é
Aqui . Então
Arredondando para cima, precisamos de iterações.

Passo 4

Calcular a solução com erro 0.52^n<=10^-6 ;Longrightarrow; 2^n>=5times10^5 ;Longrightarrow; n>=log2(5times10^5)approx18.93, por dois métodos e comparar iterações:
a) Bissecção:
Usando o mesmo intervalo xk+1=xk-xk^3-xk+13xk^2-1 , queremos
logo são necessárias iterações.
b) Newton:
Escolhemos . A fórmula é
Iterando até :
  • com diferença menor que .
Foram 5 iterações de Newton.

Resposta

Raiz aproximada:
xapprox -1.32471796
Iterações para erro (bissecção): 13 iter.
Iterações para erro :
  • Bissecção: 19 iter.
  • Newton: 5 iter.

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