Considere a equação 6 \operatorname{sen} x-\ln x=0, que admite uma única raiz. Sendo x_{0} a primeira aproximação da raiz que o método da bisseção calcula a partir de em [2;6]. pontos de abscissas a=2 e b=6, qual a sua aproximação x_{2} ?

Passo 1

O enunciado pede a raiz de
f(x)=6\operatorname{sen}(x)-\ln(x)=0
no intervalo [2,6] usando o método da bisseção. Vamos gerar sucessivos pontos médios \,x_k=(a_k+b_k)/2 e avaliar o sinal de f para escolher o subintervalo que contém a raiz. Precisamos achar x_2, sabendo que x_0 é o primeiro ponto médio.

Passo 2

Calcular
x_0=\frac{2+6}{2}=4.
Avaliamo-s f em a=2 e em x_0=4:
f(2)=6\operatorname{sen}(2)-\ln(2)\approx6\cdot0,9093-0,6931\approx4,763>0,
f(4)=6\operatorname{sen}(4)-\ln(4)\approx6\cdot(-0,7568)-1,3863\approx-5,927<0.
Como f(2) e f(4) t^em sinais opostos, a raiz est’a em [2,4].

Passo 3

No novo intervalo [2,4], o próximo ponto médio é
x_1=\frac{2+4}{2}=3.
Calculamos
f(3)=6\operatorname{sen}(3)-\ln(3)\approx6\cdot0,1411-1,0986\approx-0,252<0.
Como f(2)>0 e f(3)<0, a raiz está agora em [2,3].

Passo 4

No intervalo [2,3], o segundo ponto médio é
x_2=\frac{2+3}{2}=2,5.

Resposta

\displaystyle x_2=2,5

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