Questão 4 Qual a cota máxima do erro da integração de Gauss-Legendre com dois pontos cometido no cálculo de \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}(x)+3 x^{4} d x ?
(A) 6,8713
(B) 3,4711
(C) 1,7709
(D) 5,1712
(E) 8,5714

Passo 1

O enunciado pede a cota máxima do erro na aproximação de
\int_{0}^{\pi}\bigl(\sin(x)+3x^{4}\bigr)\,dx
pelo método de Gauss–Legendre com dois pontos. Para isso usamos a fórmula geral do erro neste caso, para um único subintervalo [a,b]:
|E|\le \frac{(b-a)^{5}}{4320}\,\max_{x\in[a,b]}\bigl|f^{(4)}(x)\bigr|.

Passo 2

Calculamos a quarta derivada de
f(x)=\sin(x)+3x^{4}.
Temos
f'(x)=\cos(x)+12x^{3},\quad f''(x)=-\sin(x)+36x^{2},\quad f'''(x)=-\cos(x)+72x,
f^{(4)}(x)=\sin(x)+72.

Passo 3

Em [0,\pi], \sin(x) varia de 0 a 1. Logo
\max_{[0,\pi]}f^{(4)}(x)=72+1=73.

Passo 4

Aplicando a fórmula de erro com a=0, b=\pi e \max|f^{(4)}|=73:
|E|\le \frac{\pi^{5}}{4320}\times 73.
Calculando numericamente,
\pi^{5}\approx306,02 \quad\Longrightarrow\quad |E|\le \frac{306,02\times73}{4320}\approx5,17.

Resposta

(D) 5,1712

Exercícios relacionados