Considere a equação 6 \operatorname{sen} x-\ln x=0, que admite uma única raiz. Sendo x_{0} a primeira aproximação da raiz que o método da secante calcula a partir de pontos de abscissas a=2 e b=6, qual a sua aproximação x_{2} ?

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o método da secante na equação
f(x)=6\sin x - \ln x = 0
Partimos dos pontos iniciais a=2 e b=6. Definimos então as aproximações geradas pela regra da secante:
x_{n+1} \;=\; x_n \;-\;\frac{f(x_n)\,\bigl(x_n - x_{n-1}\bigr)}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
Aqui chamou-se de x_0 a primeira aproximação obtida usando x_{-1}=2 e x_0=6, e queremos chegar até x_2.

Passo 2

Calcular f(2) e f(6):
f(2)=6\sin(2)-\ln(2)\approx 6\cdot0,9093 - 0,6931 = 5,4558 - 0,6931 = 4,7627,
f(6)=6\sin(6)-\ln(6)\approx 6\cdot(-0,2794) - 1,7918 = -1,6764 - 1,7918 = -3,4682.

Passo 3

Primeira aplicação da secante (gera x_0):
x_0 \;=\; 6 \;-\;\frac{f(6)\,(6-2)}{f(6)-f(2)} \;=\;6 \;-\;\frac{(-3,4682)\cdot4}{-3,4682 - 4,7627} \;\approx\;4,3143.

Passo 4

Avaliar f(x_0):
f(4,3143)=6\sin(4,3143)-\ln(4,3143)\approx 6\cdot(-0,9217)-1,4608 =-5,5302 -1,4608 = -6,9910.

Passo 5

Segunda aplicação da secante (gera x_1) usando os pontos 6 e 4,3143:
x_1 =4,3143 \;-\;\frac{f(4,3143)\bigl(4,3143-6\bigr)}{f(4,3143)-f(6)} =4,3143 \;-\;\frac{(-6,9910)\cdot(-1,6857)}{-6,9910-(-3,4682)} \approx 7,6588.

Passo 6

Avaliar f(x_1):
f(7,6588)=6\sin(7,6588)-\ln(7,6588)\approx 6\cdot0,9802 -2,0366 =5,8812 -2,0366 = 3,8446.

Passo 7

Terceira aplicação da secante (gera x_2) usando x_0=4,3143 e x_1=7,6588:
x_2 =7,6588 \;-\;\frac{f(7,6588)\,(7,6588-4,3143)}{f(7,6588)-f(4,3143)} =7,6588 \;-\;\frac{3,8446\cdot3,3445}{3,8446 -(-6,9910)} \approx 6,4721.

Resposta

A aproximação x_2 obtida após duas iterações do método da secante é aproximadamente
x_2 \approx 6,4721.

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