Questão 2 Ao calcular \int_{1}^{2} \frac{x^{5}}{40}+\cos x d x com a regra dos 3 / 8 de Simpson composta, qual é o número mínimo de subintervalos que garante um erro absoluto menor que 10^{-10} ?
A 18 (B) 93 (C) 12 (D)

Passo 1

O enunciado pede o número mínimo de subintervalos n (múltiplo de 3) na regra composta de Simpson 3/8 para
\int_{1}^{2}\Bigl(\frac{x^{5}}{40}+\cos x\Bigr)\,dx
de modo que o erro absoluto seja <10^{-10}.
Conteúdo: regra composta de Simpson 3/8 e seu limite de erro.

Passo 2

Calculamos a quarta derivada de
f(x)=\frac{x^{5}}{40}+\cos x.
Derivando sucessivamente:
f'(x)=\frac{x^{4}}{8}-\sin x,\quad f''(x)=\frac{x^{3}}{2}-\cos x,\quad f^{(3)}(x)=\frac{3x^{2}}{2}+\sin x,
f^{(4)}(x)=3x+\cos x.
Em [1,2], \cos x varia em [-1,1], e 3x+\cos x cresce em x.
Logo
\bigl|f^{(4)}(x)\bigr|\le M,\quad M=\max_{x\in[1,2]}(3x+|\cos x|)=3\cdot2+1=7.

Passo 3

O erro da regra composta de Simpson 3/8 satisfaz
|E|\le\frac{(b-a)\,M}{80}\;h^{4},\quad h=\frac{b-a}{n}.
Aqui b-a=2-1=1, então exigimos
\frac{1\cdot 7}{80}\;h^{4}\le10^{-10} \quad\Longrightarrow\quad h^{4}\le\frac{80\cdot10^{-10}}{7} \quad\Longrightarrow\quad h\le\Bigl(\tfrac{80}{7}\,10^{-10}\Bigr)^{1/4}\approx0.00582.

Passo 4

Como h=(2-1)/n=1/n, temos
n\ge\frac{1}{0.00582}\approx171.8.
E deve ser múltiplo de 3, então o menor n inteiro é
n=174.

Resposta

O número mínimo de subintervalos é 174.

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