Considere a equação 6 \operatorname{sen} x-\ln x=0, que admite uma única raiz. Qual a aproximação x_{2} da raiz que o método de Newton-Raphson calcula partindo de x_{0}=6 ?

Passo 1

O enunciado pede a raiz da equação
6\sin x - \ln x = 0
usando o método de Newton–Raphson a partir de x_0=6.
Para isso precisamos de
f(x)=6\sin x - \ln x, \qquad f'(x)=6\cos x - \frac{1}{x},
e da fórmula de iteração
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.

Passo 2

Calcular x_1 em x_0=6:
f(6)=6\sin6 - \ln6\approx6\cdot(-0,2794)-1,7918\approx-3,4683,
f'(6)=6\cos6 - \frac{1}{6}\approx6\cdot0,9603-0,1667\approx5,5951.
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x_1 = 6 - \frac{-3,4683}{5,5951} \approx 6 + 0,6198 = 6,6198.

Passo 3

Calcular x_2 em x_1=6,6198:
\sin(6,6198)\approx0,3305, \quad \cos(6,6198)\approx0,9438,
f(6,6198)=6\cdot0,3305 - \ln(6,6198)\approx1,9830 - 1,8882 = 0,0948,
f'(6,6198)=6\cdot0,9438 - \frac{1}{6,6198}\approx5,6628 - 0,1510 = 5,5118.
Portanto
x_2 = 6,6198 - \frac{0,0948}{5,5118} \approx 6,6198 - 0,0172 = 6,6026.

Resposta

x_{2}\approx6,6026

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