Questāo 1: Considere o sistema linear A x=b, onde:
A=\left[\begin{array}{rrr} 3 & 0 & 2 \\\\ 1 & 1 & -2 \\\\ 4 & -9 & 3 \end{array}\right] ; \quad \quad b=\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ 3 \\\\ -2 \end{array}\right]
(a) (1,0 ponto) Após reordenar as equações de modo que haja garantia de convergência através do Critério de Sassenfeld, encontramos \max \left\{\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}\right\} igual a:
(i) 0,3667
(ii) 0,4667
(iii) 0,5667
(iv) 0,6667
(9) n.r.a.
(b) (1,5 ponto) Para o sistema reordenado obticlo no item (a), apús calcular apenas
(0,4) uma iteraçāo usaudo o método de Gaussi-Seidel a partir de X^{(0)}=(0,95 ; 0,35 ;-0,95)^{T}, foi encontrada a solução aproximada:
(i) X^{(1)}=(0,9567 ; 0,3342 ;-0,8492)^{T}
(ii) X^{(1)}=(0,9667 ; 0,3352 ;-0,8491)^{T}
(iii) X^{(1)}=(0,9467 ; 0,3252 ;-0,8591)^{T}
(iv) X^{(1)}=(0,9657 ; 0,4452 ;-0,8591)^{T}
(i) n.r.a.
(c) (0.5 ponto) O crro cometido na iteração do item (b) usando a norma do máximo é dado por:
(i) 0,1009
(ii) 0,2009
(iii) 0,3009
(iv) 0,4009
n.r.a.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear Ax=b, com
A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 2\\\\ 1 & 1 & -2\\\\ 4 & -9 & 3 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ -2\end{pmatrix},
e pede em (a) a reordenação das equações que garanta convergência pelo Critério de Sassenfeld e o valor de \max\{\beta_1,\beta_2,\beta_3\}; em (b) uma iteração de Gauss–Seidel a partir de X^{(0)}=(0,95;0,35;-0,95)^T; e em (c) o erro na norma do máximo dessa iteração.

Passo 2

Aplicamos o critério de Sassenfeld reordenando as equações. A única ordem viável é
\text{eq}_1:\;(3)x_1 + 0\,x_2 + 2\,x_3 = 1,\quad \text{eq}_2:\;4\,x_1 - 9\,x_2 + 3\,x_3 = -2,\quad \text{eq}_3:\;1\,x_1 + 1\,x_2 - 2\,x_3 = 3.
Calculamos
\beta_1 = \frac{|0| + |2|}{|3|} = \frac{2}{3}\approx 0,6667,
\beta_2 = \frac{|4|\beta_1 + |3|}{|{-9}|} = \frac{4\cdot0,6667 + 3}{9} \approx 0,6296,
\beta_3 = \frac{|1|\beta_1 + |1|\beta_2}{|{-2}|} = \frac{0,6667 + 0,6296}{2} \approx 0,6481.
Logo \max\{\beta_i\} = 0,6667.

Passo 3

Da ordem escolhida, obtemos as fórmulas usadas em Gauss–Seidel:
x_1 = \frac{1 - 2\,x_3}{3},\quad x_2 = \frac{4\,x_1 + 3\,x_3 + 2}{9},\quad x_3 = \frac{x_1 + x_2 - 3}{2}.

Passo 4

A partir de X^{(0)} = (0,95;0,35;-0,95)^T, calculamos
x_1^{(1)} = \frac{1 - 2(-0,95)}{3} = \frac{2,9}{3} = 0,9667,
x_2^{(1)} = \frac{4(0,9667) + 3(-0,95) + 2}{9} = \frac{3,8668 - 2,85 + 2}{9} = 0,3352,
x_3^{(1)} = \frac{0,9667 + 0,3352 - 3}{2} = -0,8491.
Portanto X^{(1)}=(0,9667;0,3352;-0,8491)^T.

Passo 5

O erro na norma do máximo entre X^{(1)} e X^{(0)} é
\|X^{(1)} - X^{(0)}\|_\infty = \max\bigl\{|0,9667-0,95|,\;|0,3352-0,35|,\;|-0,8491+0,95|\bigr\} = 0,1009.

Resposta

(a) (iv) 0,6667
(b) (ii) X^{(1)}=(0,9667;0,3352;-0,8491)^T
(c) (i) 0,1009

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