Questão 2: Unl motorista conferiu através do velocímetro (suponla que o velocímetro seja exato) as seguintes velocidades:
distância d(\mathrm{~km}) 0 0,2 0,4 0,6 0,8
velocidade v(\mathrm{~km} / \mathrm{h}) 81,5 85,5 87,5 93,5 86,5
(a) (1,5 ponto) Usando interpolação quadrática de Lagrange, a velocidade aproximada em km/h quando o motorista está numa distância d=0,35 \mathrm{~km} é de:
(C)) 80,6250
(i) 83,6250
(ii) 84,6250
(iii) 85,6250
(v) n.r.a.
(b) ( 1,5 ponto) Usando o ajuste linear pelo Método dos Mínimos Quadrados, a velocidade esperada em \mathrm{km} / \mathrm{h} quando d=1,0 \mathrm{~km} é de:
(B) n.r.a.
(i) 92,5941
(ii) 91,5941
(iii) 90,5941
(iv) 89,5941

Passo 1

O enunciado fornece cinco medições de distância d em km e velocidade v em km/h:
\begin{array}{c|ccccc} d & 0 & 0,2 & 0,4 & 0,6 & 0,8\\hline v & 81,5 & 85,5 & 87,5 & 93,5 & 86,5 \end{array}
(a) pede interpolação quadrática de Lagrange para estimar v(0,35).
(b) pede ajuste linear por mínimos quadrados para estimar v(1,0).

Passo 2

Para (a), escolhemos os três pontos mais próximos de d=0,35, isto é (0,2,85,5), (0,4,87,5) e (0,6,93,5). A forma de Lagrange é
P_2(d)=\sum_{j=0}^{2}v_j\,L_j(d),
onde, por exemplo,
L_0(d)=\frac{(d-0,4)(d-0,6)}{(0,2-0,4)(0,2-0,6)},\; L_1(d)=\frac{(d-0,2)(d-0,6)}{(0,4-0,2)(0,4-0,6)},\; L_2(d)=\frac{(d-0,2)(d-0,4)}{(0,6-0,2)(0,6-0,4)}.

Passo 3

Avaliando em d=0,35:
L_0(0,35)=0,15625,\quad L_1(0,35)=0,9375,\quad L_2(0,35)=-0,09375,
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P_2(0,35)=85,5\cdot0,15625+87,5\cdot0,9375+93,5\cdot(-0,09375)=86,625.

Passo 4

Como nenhuma das alternativas (80,6250; 83,6250; 84,6250; 85,6250) coincide com 86,625, a resposta de (a) é a opção “n.r.a.”, isto é, (v).

Passo 5

Para (b), vamos ajustar a reta v=a\,d+b por mínimos quadrados. Calculamos
n=5,\; \sum d_i=2,0,\; \sum v_i=434,5,\; \sum d_i^2=1,20,\; \sum d_i\,v_i=177,4.

Passo 6

O coeficiente angular é
a=\frac{n\sum d_i v_i-\sum d_i\sum v_i}{n\sum d_i^2-(\sum d_i)^2} =\frac{5\cdot177,4-2,0\cdot434,5}{5\cdot1,20-2,0^2} =\frac{887-869}{6-4}=9,
e o intercepto
b=\frac{\sum v_i - a\sum d_i}{n}=\frac{434,5-9\cdot2,0}{5}=83,3.

Passo 7

A previsão em d=1,0 é
v(1,0)=9\cdot1,0+83,3=92,3\text{ km/h}.

Passo 8

Nenhuma das alternativas (92,5941; 91,5941; 90,5941; 89,5941) coincide com 92,3, logo a resposta de (b) também é “n.r.a.”, isto é, (B).

Resposta

(a) (v) n.r.a.
(b) (B) n.r.a.

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