Utilize o método da secante para encontrar a raiz da função f(x)=x^{2}-5 com aproximações iniciais x_{0}=2 e x_{1}=3. Faça cinco iterações e apresente os resultados.

Passo 1

O enunciado pede a raiz de f(x)=x^{2}-5 usando o método da secante com aproximações iniciais x_{0}=2 e x_{1}=3. O conteúdo é métodos numéricos para encontrar raízes de equações não-lineares, em especial o método da secante, que usa duas aproximações para gerar iterativamente novas.

Passo 2

A fórmula geral do método da secante é
x_{n+1} \;=\; x_{n} \;-\; f(x_{n}) \,\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.
Inicialmente calculamos
f(x_{0}) = 2^{2}-5 = -1, \quad f(x_{1}) = 3^{2}-5 = 4.

Passo 3

Primeira iteração n=1 para obter x_{2}:
x_{2} = 3 - 4\,\frac{3-2}{4 - (-1)} = 3 - \frac{4}{5} = 2{,}200000.

Passo 4

Segunda iteração n=2 para obter x_{3}:
f(x_{2}) = (2{,}2)^{2}-5 = -0{,}16,
x_{3} = 2{,}2 - (-0{,}16)\,\frac{2{,}2-3}{-0{,}16-4} \approx 2{,}230769.

Passo 5

Terceira iteração n=3 para obter x_{4}:
f(x_{3}) \approx (2{,}230769)^{2}-5 = -0{,}0226637,
x_{4} = 2{,}230769 - (-0{,}0226637)\,\frac{2{,}230769-2{,}2}{-0{,}0226637 - (-0{,}16)} \approx 2{,}235835.

Passo 6

Quarta iteração n=4 para obter x_{5}:
f(x_{4}) \approx (2{,}235835)^{2}-5 = -0{,}000992,
x_{5} = 2{,}235835 - (-0{,}000992)\,\frac{2{,}235835-2{,}230769}{-0{,}000992 - (-0{,}0226637)} \approx 2{,}236067.

Passo 7

Quinta iteração n=5 para obter x_{6}:
f(x_{5}) \approx (2{,}236067)^{2}-5 = 4{,}8\times 10^{-7},
x_{6} = 2{,}236067 - (4{,}8\times 10^{-7})\,\frac{2{,}236067-2{,}235835}{4{,}8\times 10^{-7} - (-0{,}000992)} \approx 2{,}236067.

Resposta

x_{2} = 2{,}200000 x_{3} \approx 2{,}230769 x_{4} \approx 2{,}235835 x_{5} \approx 2{,}236067 x_{6} \approx 2{,}236067

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