Uma viga com comportamento não linear é modelada por f(x)=x^{3}+2 x^{2}-5 x-6. Use o método da bisseção e o método da falsa posição para encontrar a raiz entre x=2 e x=3. Compare os resultados e discuta o número de iterações necessário para atingir \varepsilon_{s}<1 \%.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}+2x^{2}-5x-6
e pede a raiz de f(x)=0 no intervalo [2,3] usando dois métodos de bracketing (bisseção e falsa posição), comparando quantas iterações são necessárias para atingir \varepsilon_{s}<1\%. Para aplicar esses métodos precisamos verificar os sinais de f(2) e f(3) e usar a definição de erro relativo aproximado
\varepsilon_{s}\approx\biggl|\frac{x_{\text{new}}-x_{\text{old}}}{x_{\text{new}}}\biggr|\times100\%.

Passo 2

Calculemos os valores nos extremos do intervalo:
f(2)=2^{3}+2\cdot2^{2}-5\cdot2-6 =8+8-10-6=0,
f(3)=3^{3}+2\cdot3^{2}-5\cdot3-6 =27+18-15-6=24.
Como f(2)=0, isto indica que x=2 já é raiz exata de f(x) e pertence ao intervalo dado.

Passo 3

Em qualquer método de bracketing, se num dos extremos a ou b tivermos f(a)=0 ou f(b)=0, encontramos a raiz imediatamente sem necessidade de iterações. Aqui, em ambos os métodos, ao verificar f(2)=0 reconhecemos imediatamente
x_{\text{raiz}}=2.

Passo 4

Como a raiz foi encontrada exatamente no ponto x=2, não há iterações intermediárias e o erro relativo aproximado satisfaz
\varepsilon_{s} =\biggl|\frac{2-2}{2}\biggr|\times100\%=0\%<1\%.
Portanto, tanto na bisseção quanto na falsa posição, bastou a avaliação inicial e não foi necessário iterar.

Resposta

A raiz de f(x)=0 em [2,3] é
x=2,
encontrada imediatamente em zero iterações em ambos os métodos, já que f(2)=0.

Exercícios relacionados