Suponha que você está usando o Método da Bisseção para encontrar uma raiz de uma função
no intervalo
.
a) O que acontece se a função tiver duas raízes no intervalo inicial
? O método ainda funcionará? Explique com base na lógica do Teorema de Bolzano.
b) Se, em uma das iterações, o ponto médio
resultar em
, o que isso significa? O que o algoritmo deve fazer nesse caso?
a) O que acontece se a função tiver duas raízes no intervalo inicial
b) Se, em uma das iterações, o ponto médio
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
-
Informações dadas:
- Você está aplicando o Método da Bisseção para achar uma raiz de
no intervalo . - O método usa a lógica do Teorema de Bolzano (teorema do valor intermediário em forma de existência de raiz por mudança de sinal).
- Você está aplicando o Método da Bisseção para achar uma raiz de
-
Perguntas:
- (a) O que acontece se a função tiver duas raízes no intervalo inicial
? O método ainda funcionará? Explique com base na lógica do Teorema de Bolzano. - (b) Se, em alguma iteração, o ponto médio
satisfazer , o que isso significa e o que o algoritmo deve fazer nesse caso?
- (a) O que acontece se a função tiver duas raízes no intervalo inicial
Passo 2
Primeira coisa: lembrar (e entender) o que diz o Teorema de Bolzano que usamos na bisseção. Vou escrever e explicar bem devagar.
- Enunciado (forma usada no método da bisseção): se
é contínua em e então existe pelo menos um ponto tal que .
Explicando cada parte:
- "Contínua em
" significa que não há saltos ou quebras; você sempre pode traçar o gráfico sem tirar a caneta do papel entre e . - A condição
quer dizer que e têm sinais opostos (um positivo e outro negativo). Esse facto garante, por continuidade, que o gráfico atravessa o eixo em algum lugar entre e , ou seja, existe pelo menos uma raiz.
Importante: o teorema garante “pelo menos uma” raiz — não diz quantas raízes pode haver. Ele apenas usa mudança de sinal nos extremos para assegurar existência de alguma raiz.
Passo 3
Entendendo o que ocorre quando há duas raízes (ou número arbitrário de raízes) em
.
-
Caso 1: existem exatamente duas raízes distintas em
e ambas são simples (gera mudança de sinal em cada raiz). - Exemplo concreto para visualizar: tome
. As raízes são e . No intervalo temos ou seja, (mesmo sinal nos extremos). - Conclusão: se há duas raízes simples entre
e , normalmente os sinais em e vão coincidir (porque cada raiz simples troca o sinal; duas trocas retornam ao sinal original). Assim a condição não é satisfeita e o método da bisseção, tal como está, não pode ser iniciado — ele exige mudança de sinal nos extremos. Logo, com duas raízes simples dentro do intervalo inicial, o método NÃO parte (não é aplicável) a menos que você escolha subintervalos diferentes.
- Exemplo concreto para visualizar: tome
-
Observação sobre multiplicidades: se uma raiz tem multiplicidade par (por exemplo uma raiz dupla), em torno dessa raiz o sinal pode não mudar. Por isso o número de raízes contando multiplicidade e o comportamento de sinais pode ficar sutil, mas a regra prática é:
- Se
, então há pelo menos uma raiz no intervalo e o número total de cruzamentos (contando trocas de sinal) entre e é ímpar. - Se
, o teorema de Bolzano não fornece garantia; podem existir zero, duas, quatro etc. raízes no intervalo — o método da bisseção não pode garantir nada nessa situação inicial.
- Se
Passo 4
O que isso implica para o funcionamento do Método da Bisseção (resposta direta à parte (a), com justificativa prática):
- O método da bisseção exige que você comece com um intervalo
tal que . Sem essa condição inicial você não tem garantia de que há uma raiz — e portanto não pode aplicar a lógica de “escolher a metade que mantém a mudança de sinal”. - Se houver exatamente duas raízes dentro de
e você escolher com (o caso típico), então o método não se aplica: ele não “falhará” no sentido de dar resposta errada, ele simplesmente não pode ser iniciado porque o passo inicial (verificar mudança de sinal) falha. - Se, por outro lado, o intervalo inicial de fato satisfizer
, então o número de raízes “com mudança de sinal” nele será ímpar (1, 3, 5, …). Portanto não pode haver exatamente duas raízes simples nesse caso — duas seria par. Nessa situação (quando a condição de início vale) o método funciona: ele vai estreitar sucessivamente um intervalo que contém pelo menos uma raiz e convergir para uma dessas raízes (ou para um ponto onde ). Em resumo: com duas raízes no intervalo inicial, normalmente a bisseção não pode começar; se conseguir começar, significa que o número total de raízes com mudança de sinal é ímpar, e a bisseção vai convergir para uma única raiz localizada dentro do refinamento.
Passo 5
Raciocínio operacional (como você procede na prova / implementação, passo a passo curto):
- Antes de aplicar a bisseção verifique
. - Se
: aplique o método — escolha , calcule e replique a regra: - se
então substitua ; - senão (isto é, se
) substitua .
- se
- Se
: a bisseção não pode ser aplicada diretamente. Você precisa ou: - escolher um par de pontos menores que contenham uma mudança de sinal (fazer uma varredura e achar subintervalo com sinais opostos), ou
- usar outro método (por exemplo, inspeção do gráfico, método de Newton, busca por mudanças de sinal, ou dividir o intervalo e testar cada subintervalo).
- Se
Isso responde a (a) em termos práticos: se houver duas raízes e você não tem mudança de sinal nos extremos, a bisseção não serve sem ajustar o intervalo.
Passo 6
Agora a parte (b): o que significa
e o que o algoritmo deve fazer.
- Significado matemático:
significa que você encontrou uma raiz exata — o ponto médio é um zero da função. - O que fazer no algoritmo (regra clara e simples):
- Pare imediatamente e retorne
como solução exata.
- Pare imediatamente e retorne
- Nota prática (numérica):
- Na computação com números de ponto flutuante raramente se obtém exatamente zero. Por isso, na prática usa-se um critério de tolerância: se
(por exemplo ou um valor adequado) então aceitasse como raiz aproximada e para. - Mesmo se a raiz for de multiplicidade maior (por exemplo uma raiz dupla), o fato de
implica que encontrou uma raiz e pode parar. Não é preciso continuar refinando para “confirmar” — a condição é suficiente.
- Na computação com números de ponto flutuante raramente se obtém exatamente zero. Por isso, na prática usa-se um critério de tolerância: se
Passo 7
Resumo curto e amigável para levar à prova (com frases que você pode escrever na folha):
- Para (a): verifique primeiro
. Se então existe pelo menos uma raiz em (Bolzano) e a bisseção funciona e convergirá para uma raiz. Se o intervalo contém exatamente duas raízes simples, normalmente e, portanto, a bisseção NÃO pode ser aplicada diretamente — você precisa encontrar um subintervalo com mudança de sinal ou outro método. - Para (b): se em alguma iteração
, você encontrou uma raiz exata; o algoritmo deve parar e devolver . Na prática, aceite como critério de parada.
Resposta
(a) Se no intervalo inicial
tivermos duas raízes simples, tipicamente
(mesmo sinal nos extremos) e a condição do Teorema de Bolzano usada pelo método da bisseção não é satisfeita, logo o método não pode ser iniciado nesse intervalo; se a bisseção for iniciada (isto é, se
) então o número de raízes que causam troca de sinal é ímpar e a bisseção convergirá para uma única raiz (portanto não é consistente haver exatamente duas raízes simples quando
).\n(b)
significa que
é uma raiz exata; o algoritmo deve parar e devolver
. Na prática numérica usa-se o critério
para interromper.