O desempenho de um critério de parada pode depender da inclinação da função na raiz.
a) Considere uma função f(x) com uma raiz \xi. No Método da Bisseção, a aproximação da raiz é o ponto médio x_{k} do intervalo \left[a_{k}, b_{k}\right]. Explique a relação entre a amplitude do intervalo,
o valor de \left|f\left(x_{k}\right)\right| e a inclinação da função f^{\prime}\left(x_{k}\right). Para isso, use o Teorema do Valor Médio, que afirma que existe um ponto c \in\left(a_{k}, b_{k}\right) tal que f^{\prime}\text{(c)}=\frac{f\left(b_{k}\right)-f\left(a_{k}\right)}{b_{k}-a_{k}}.
b) Use a sua análise para explicar por que, para funções com inclinação muito alta ( f^{\prime}(x) grande) na raiz, o critério de distância entre aproximações pode ser satisfeito, mas o critério do valor da função pode não ser.
c) De forma similar, explique o que aconteceria com os critérios de parada se a função tivesse uma inclinação muito baixa ( f^{\prime}(x) pequena) na raiz.

Passo 1

O enunciado pede três coisas relacionadas ao Método da Bisseção e à inclinação da função na raiz:
  • (a) Mostrar e explicar a relação entre a amplitude do intervalo \left[a_{k},b_{k}\right], o valor de \left|f\left(x_{k}\right)\right| (onde x_{k} é o ponto médio do intervalo) e a inclinação da função f^{\prime}\left(x_{k}\right), usando o Teorema do Valor Médio. O enunciado nos dá explicitamente o Teorema do Valor Médio: existe c\in\left(a_{k},b_{k}\right) tal que f^{\prime}\text{(c)}=\dfrac{f(b_{k})-f(a_{k})}{b_{k}-a_{k}}.
  • (b) Usar essa análise para explicar por que, quando f^{\prime}(x) é grande na raiz, o critério de parada baseado na distância entre aproximações pode ser satisfeito, enquanto o critério baseado em |f(x_k)| pode não ser satisfeito.
  • (c) Fazer análise análoga para o caso em que f^{\prime}(x) é muito pequeno na raiz.
Informações fornecidas que usaremos: f tem uma raiz \xi (ou seja, f(\xi)=0); no Método da Bisseção a aproximação x_k é o ponto médio de \left[a_{k},b_{k}\right]; podemos aplicar o Teorema do Valor Médio em intervalos dentro de \left[a_k,b_k\right].

Passo 2

Lembrando e aplicando o Teorema do Valor Médio (MVT) de forma útil aqui. O MVT diz: se f é contínua em [\alpha,\beta] e diferenciável em (\alpha,\beta), então existe \zeta\in(\alpha,\beta) tal que
f'(\zeta)=\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}.
Agora apliquei o MVT ao par de pontos x_k e \xi. Como f é diferenciável, existe um ponto z entre x_k e \xi tal que
f' (z) = \frac{f(x_k)-f(\xi)}{x_k-\xi}.
Mas f(\xi)=0 (porque \xi é raiz), então obtemos, exatamente,
f(x_k)=f'(z)\,(x_k-\xi).
Essa igualdade é muito simples e útil: ela diz que o valor da função no ponto médio é (exatamente) a inclinação num ponto intermediário multiplicada pela distância entre x_k e a raiz \xi. Em valor absoluto:
|f(x_k)| = |f'(z)|\,|x_k-\xi|.

Passo 3

Agora relacionamos x_k com a amplitude do intervalo [a_k,b_k]. Pelo método da bisseção x_k é o ponto médio, então a distância máxima entre x_k e a raiz \xi é no máximo metade da amplitude do intervalo:
|x_k-\xi| \le \frac{b_k-a_k}{2}.
Juntando com a igualdade do passo anterior obtemos uma desigualdade que liga as três quantidades pedidas:
|f(x_k)| = |f'(z)|\,|x_k-\xi| \le |f'(z)|\cdot\frac{b_k-a_k}{2}.
Se definirmos
M_k := \max_{x\in[a_k,b_k]} |f'(x)|,
então, como z\in(a_k,b_k), temos |f'(z)|\le M_k e portanto a versão em forma de cota é
\boxed{|f(x_k)| \le M_k\cdot\frac{b_k-a_k}{2}.}
Interpretação didática: o valor absoluto de f no ponto médio cresce (no máximo) proporcionalmente à amplitude do intervalo e à maior inclinação da função naquele intervalo.

Passo 4

Fazendo a ponte entre a desigualdade e a ideia de "inclinação em x_k". Se f' não varia muito dentro do intervalo (ou seja, se f' é aproximadamente constante perto da raiz), então f'(z) é aproximadamente f'(x_k) e a relação do passo 2 pode ser aproximada por
f(x_k) \approx f'(x_k)\,(x_k-\xi),
ou em módulo
|f(x_k)| \approx |f'(x_k)|\,|x_k-\xi|.
Isso é justamente a ideia da aproximação linear (primeiro termo de Taylor sem resto explícito): localmente a função age quase como a reta tangente. Bom, isso nos dá uma forma prática para pensar: para um dado erro em x (distância até a raiz), o erro em f escala com a inclinação local f'.

Passo 5

Aplicando isso ao critério “distância entre aproximações” vs. “valor da função” — caso 1: inclinação grande.
Se f'(x) é grande na vizinhança da raiz, então, mesmo que |x_k-\xi| seja pequeno, o produto |f'(x_k)|\,|x_k-\xi| pode não ser pequeno. Em palavras: uma pequena mudança na abscissa gera uma mudança grande no valor de f. Consequências práticas no Método da Bisseção:
  • O critério de distância entre aproximações (por exemplo |x_{k}-x_{k-1}|<\text{tol}_x ou \frac{b_k-a_k}{2}<\text{tol}_x) mede só a proximidade em abscissa; como o método reduz a amplitude do intervalo geometricamente, esse critério se satisfaz rapidamente.
  • Porém, pela desigualdade |f(x_k)|\le M_k\,(b_k-a_k)/2, se M_k (a inclinação máxima no intervalo) for muito grande, então |f(x_k)| pode permanecer grande enquanto (b_k-a_k)/2 decai. Em termos intuitivos: mesmo um x_k bem próximo de \xi dá um f(x_k) que não é pequeno porque a reta é muito inclinada.
    Exemplo numérico simples e ilustrativo (só para intuição): considere f(x)=100x com raiz em \xi=0. Se tivermos x_k=10^{-3}, então |x_k-\xi|=10^{-3} é pequeno, mas |f(x_k)|=100\cdot10^{-3}=0{,}1 pode ainda ser maior que uma tolerância \text{tol}_f. Assim, o critério de distância pode já ter sido satisfeito (pois os intervalos ficaram pequenos), mas o critério |f(x_k)|<\text{tol}_f não.

Passo 6

Agora o caso oposto: inclinação muito pequena na raiz.
Se f'(x) é pequeno perto de \xi, então, pela mesma relação do passo 2,
|f(x_k)| = |f'(z)|\,|x_k-\xi| \le M_k\cdot\frac{b_k-a_k}{2},
mas agora M_k é pequeno. Isso significa que mesmo se |x_k-\xi| for moderadamente grande, o valor |f(x_k)| pode ser muito pequeno — a função varia muito lentamente: pequenas mudanças em x produzem mudanças minúsculas em f. Consequências práticas:
  • O critério baseado em |f(x_k)| pode ser satisfeito bastante cedo, mesmo quando a aproximação x_k ainda está longe da raiz em abscissa.
  • O critério de distância entre aproximações não será satisfeito tão cedo, porque o método precisa reduzir o comprimento do intervalo até que |x_k-\xi| seja pequeno; isso leva o número usual de iterações da bisseção. Em resumo: função “plana” pode enganar o critério em f, dando um falso sentimento de sucesso enquanto a posição ainda é ruim.
    Exemplo simples: f(x)=0{,}01x. Se x_k=1 então |f(x_k)|=0{,}01 é pequeno, mas |x_k-\xi|=1 é grande — logo |f| pequeno não garante x_k próximo da raiz.

Passo 7

Resumo prático e recomendação (curto e útil para prova):
  • A relação fundamental que usamos é, obtida pelo MVT entre x_k e \xi:
f(x_k)=f'(z)\,(x_k-\xi),\qquad z\in(x_k,\xi),
e a cota útil
|f(x_k)|\le M_k\cdot\frac{b_k-a_k}{2},\qquad M_k=\max_{[a_k,b_k]}|f'|.
  • Interpretação: para derivada grande, |f(x_k)| pode continuar grande mesmo quando |x_k-\xi| é pequeno; para derivada pequena, |f(x_k)| pode ser pequeno mesmo com |x_k-\xi| grande.
  • Por isso, na prática é sábio usar ambos os critérios de parada (distância e valor da função) simultaneamente, e escolher tolerâncias relacionadas às escalas do problema. Uma regra prática para ligar tolerâncias é:
\text{tol}_f \approx \big(\max_{[a_0,b_0]}|f'|\big)\cdot \text{tol}_x,
pois então satisfazer |x_k-\xi|<\text{tol}_x costuma implicar |f(x_k)|<\text{tol}_f quando f' não varia muito.

Resposta

(a) Usando o Teorema do Valor Médio entre x_k e a raiz \xi obtemos f(x_k)=f'(z)\,(x_k-\xi) para algum z\in(x_k,\xi). Como x_k é o ponto médio de [a_k,b_k] temos |x_k-\xi|\le\frac{b_k-a_k}{2}, logo
|f(x_k)|\le M_k\cdot\frac{b_k-a_k}{2},
onde M_k=\max_{[a_k,b_k]}|f'|. Essa desigualdade relaciona explicitamente amplitude do intervalo, |f(x_k)| e a inclinação da função no intervalo.
(b) Se f' é grande perto da raiz, então mesmo uma pequena distância |x_k-\xi| pode produzir um |f(x_k)| relativamente grande (porque |f(x_k)|\approx|f'(x_k)|\,|x_k-\xi|). Assim o critério de distância entre aproximações (que depende só de |x_k-\xi| ou de \tfrac{b_k-a_k}{2}) pode ser satisfeito enquanto o critério |f(x_k)|<\text{tol}_f não é satisfeito.
(c) Se f' é pequeno perto da raiz, então |f(x_k)| pode ser muito pequeno mesmo quando |x_k-\xi| é relativamente grande, logo o critério baseado em |f(x_k)| pode ser satisfeito prematuramente enquanto o critério de distância entre aproximações ainda exige mais iterações.

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