O desempenho de um critério de parada pode depender da inclinação da função na raiz.
a) Considere uma função
com uma raiz
. No Método da Bisseção, a aproximação da raiz é o ponto médio
do intervalo
. Explique a relação entre a amplitude do intervalo,
o valor de
e a inclinação da função
. Para isso, use o Teorema do Valor Médio, que afirma que existe um ponto
tal que
.
b) Use a sua análise para explicar por que, para funções com inclinação muito alta (
grande) na raiz, o critério de distância entre aproximações pode ser satisfeito, mas o critério do valor da função pode não ser.
c) De forma similar, explique o que aconteceria com os critérios de parada se a função tivesse uma inclinação muito baixa (
pequena) na raiz.
a) Considere uma função
o valor de
b) Use a sua análise para explicar por que, para funções com inclinação muito alta (
c) De forma similar, explique o que aconteceria com os critérios de parada se a função tivesse uma inclinação muito baixa (
Passo 1
O enunciado pede três coisas relacionadas ao Método da Bisseção e à inclinação da função na raiz:
- (a) Mostrar e explicar a relação entre a amplitude do intervalo
, o valor de (onde é o ponto médio do intervalo) e a inclinação da função , usando o Teorema do Valor Médio. O enunciado nos dá explicitamente o Teorema do Valor Médio: existe tal que . - (b) Usar essa análise para explicar por que, quando
é grande na raiz, o critério de parada baseado na distância entre aproximações pode ser satisfeito, enquanto o critério baseado em pode não ser satisfeito. - (c) Fazer análise análoga para o caso em que
é muito pequeno na raiz.
Informações fornecidas que usaremos:
tem uma raiz
(ou seja,
); no Método da Bisseção a aproximação
é o ponto médio de
; podemos aplicar o Teorema do Valor Médio em intervalos dentro de
.
Passo 2
Lembrando e aplicando o Teorema do Valor Médio (MVT) de forma útil aqui. O MVT diz: se
é contínua em
e diferenciável em
, então existe
tal que
Agora apliquei o MVT ao par de pontos
e
. Como
é diferenciável, existe um ponto
entre
e
tal que
Mas
(porque
é raiz), então obtemos, exatamente,
Essa igualdade é muito simples e útil: ela diz que o valor da função no ponto médio é (exatamente) a inclinação num ponto intermediário multiplicada pela distância entre
e a raiz
. Em valor absoluto:
Passo 3
Agora relacionamos
com a amplitude do intervalo
. Pelo método da bisseção
é o ponto médio, então a distância máxima entre
e a raiz
é no máximo metade da amplitude do intervalo:
Juntando com a igualdade do passo anterior obtemos uma desigualdade que liga as três quantidades pedidas:
Se definirmos
então, como
, temos
e portanto a versão em forma de cota é
Interpretação didática: o valor absoluto de
no ponto médio cresce (no máximo) proporcionalmente à amplitude do intervalo e à maior inclinação da função naquele intervalo.
Passo 4
Fazendo a ponte entre a desigualdade e a ideia de "inclinação em
". Se
não varia muito dentro do intervalo (ou seja, se
é aproximadamente constante perto da raiz), então
é aproximadamente
e a relação do passo 2 pode ser aproximada por
ou em módulo
Isso é justamente a ideia da aproximação linear (primeiro termo de Taylor sem resto explícito): localmente a função age quase como a reta tangente. Bom, isso nos dá uma forma prática para pensar: para um dado erro em
(distância até a raiz), o erro em
escala com a inclinação local
.
Passo 5
Aplicando isso ao critério “distância entre aproximações” vs. “valor da função” — caso 1: inclinação grande.
Se
é grande na vizinhança da raiz, então, mesmo que
seja pequeno, o produto
pode não ser pequeno. Em palavras: uma pequena mudança na abscissa gera uma mudança grande no valor de
. Consequências práticas no Método da Bisseção:
- O critério de distância entre aproximações (por exemplo
ou ) mede só a proximidade em abscissa; como o método reduz a amplitude do intervalo geometricamente, esse critério se satisfaz rapidamente. - Porém, pela desigualdade
, se (a inclinação máxima no intervalo) for muito grande, então pode permanecer grande enquanto decai. Em termos intuitivos: mesmo um bem próximo de dá um que não é pequeno porque a reta é muito inclinada.
Exemplo numérico simples e ilustrativo (só para intuição): considerecom raiz em . Se tivermos , então é pequeno, mas pode ainda ser maior que uma tolerância . Assim, o critério de distância pode já ter sido satisfeito (pois os intervalos ficaram pequenos), mas o critério não.
Passo 6
Agora o caso oposto: inclinação muito pequena na raiz.
Se
é pequeno perto de
, então, pela mesma relação do passo 2,
mas agora
é pequeno. Isso significa que mesmo se
for moderadamente grande, o valor
pode ser muito pequeno — a função varia muito lentamente: pequenas mudanças em
produzem mudanças minúsculas em
. Consequências práticas:
- O critério baseado em
pode ser satisfeito bastante cedo, mesmo quando a aproximação ainda está longe da raiz em abscissa. - O critério de distância entre aproximações não será satisfeito tão cedo, porque o método precisa reduzir o comprimento do intervalo até que
seja pequeno; isso leva o número usual de iterações da bisseção. Em resumo: função “plana” pode enganar o critério em , dando um falso sentimento de sucesso enquanto a posição ainda é ruim.
Exemplo simples:. Se então é pequeno, mas é grande — logo pequeno não garante próximo da raiz.
Passo 7
Resumo prático e recomendação (curto e útil para prova):
- A relação fundamental que usamos é, obtida pelo MVT entre
e :
e a cota útil
- Interpretação: para derivada grande,
pode continuar grande mesmo quando é pequeno; para derivada pequena, pode ser pequeno mesmo com grande. - Por isso, na prática é sábio usar ambos os critérios de parada (distância e valor da função) simultaneamente, e escolher tolerâncias relacionadas às escalas do problema. Uma regra prática para ligar tolerâncias é:
pois então satisfazer
costuma implicar
quando
não varia muito.
Resposta
(a) Usando o Teorema do Valor Médio entre
e a raiz
obtemos
para algum
. Como
é o ponto médio de
temos
, logo
onde
. Essa desigualdade relaciona explicitamente amplitude do intervalo,
e a inclinação da função no intervalo.
(b) Se é grande perto da raiz, então mesmo uma pequena distância
pode produzir um
relativamente grande (porque
). Assim o critério de distância entre aproximações (que depende só de
ou de
) pode ser satisfeito enquanto o critério
não é satisfeito.
(c) Se é pequeno perto da raiz, então
pode ser muito pequeno mesmo quando
é relativamente grande, logo o critério baseado em
pode ser satisfeito prematuramente enquanto o critério de distância entre aproximações ainda exige mais iterações.
(b) Se
(c) Se