Considere a equação
tg(x)-(0,1) x=0, pi
Utilizando o método de Newton, com ponto inicial x0=3,45, quantas iterações são necessárias para obter uma solução aproximada da equação acima com um erro menor que epsilon=10^-14.

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente achar, via Método de Newton, quantas iterações são necessárias para aproximar a raiz

começando em tg(x)-0,1,x=0, pi, de modo que o erro xn+1 ;=; xn - f(xn)f'(xn), fique abaixo de
.
Matéria: método de Newton (Newton–Raphson). Vamos precisar:
1) definir e ,
2) aplicar a fórmula de iteração

3) acompanhar o erro usando o valor “verdadeiro” .

Passo 2

Definindo

a iteração de Newton é
[
x_{n+1}

x_n ;-;
\frac{\tg(x_n)-0.1,x_n}{\sec^2(x_n)-0.1}.
]

Passo 3

Vamos calcular as primeiras iterações e os erros relativos:
  1. n=0 → 1
    • erro .
  2. n=1 → 2
    • erro .

Passo 4

  1. n=2 → 3
    • usando e3approx C,(e2)^2sim 10^-14 a 10^-13, e a convergência quadrática, e4approx C,(e3)^2sim10^-27, numericamente dá , ainda ligeiramente acima de .
  2. n=3 → 4
    • a próxima iteração dá ou seja, já muito abaixo de .

Passo 5

Concluímos que após 3 iterações ainda estamos um pouco acima do erro pedido, e só caímos abaixo de depois da 4ª iteração.

Resposta

São necessárias 4 iterações do Método de Newton para obter .

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