Considere a fórmula para determinar a raiz quadrada de a:
xk+1=12[xk+axk] k=0,1, cdots
Usando o método de Newton calcule quantas iterações são necessárias para calcular raiz2 com erro menor que 10^-6.

Passo 1

Beleza, o enunciado manda usar o método de Newton, via a iteração
xk+1=12l[xk+axkr],
para aproximar raiza com a=2 e descobrir quantas iterações são necessárias até que o erro
|xk-raiz2|<10^-6
Conteúdo da matéria: método de Newton para raízes e controle de erro. Precisamos saber a fórmula de iteração e medir o erro a cada passo.

Passo 2

Curto de teoria: a gente quer resolver f(x)=x^2-2=0. O método de Newton diz que
xk+1=xk-f(xk)f'(xk) = xk-xk^2-22xk = 12l(xk+2xkr)
É isso que usamos para ir refinando a aproximação de raiz2.

Passo 3

Escolhemos um chute inicial simples, digamos
x0=1
Agora calculamos
x1=12l(1+21r)=12(1+2)=1.5
O erro é
|x1-raiz2|approx|1.5-1.41421356|=0.08578644>10^-6

Passo 4

Segunda iteração:
x2=12l(1.5+21.5r) =12l(1.5+1.3333dotsr) approx1.4166667
Erro:
|x2-raiz2|approx|1.4166667-1.41421356|=0.00245314>10^-6

Passo 5

Terceira iteração:
x3=12l(1.4166667+21.4166667r) approx12(1.4166667+1.4117647) approx1.4142157
Erro:
|x3-raiz2|approx2.12times10^-6>10^-6

Passo 6

Quarta iteração:
x4=12l(1.4142157+21.4142157r) approx12(1.4142157+1.4142114) approx1.41421356
Erro:
|x4-raiz2|approx1.14times10^-7<10^-6

Resposta

São necessárias 4 iterações para que o erro fique abaixo de 10^-6,.

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