Considere a equação da velocidade terminal:
v_{t}=\sqrt{\frac{2 \cdot m \cdot g}{\rho \cdot A \cdot C_{d}}}
Com:
\begin{aligned} & m=0,2 \mathrm{~kg} ; \\\ & g=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ; \\\ & \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \\\ & A=0,01 \mathrm{~m}^{2} ; \\\ & C_{d}=0,47 . \end{aligned}
a. Faça a análise dimensional da equação.
b. Verifique se a unidade final é \mathrm{m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede para fazermos a análise dimensional da fórmula da velocidade terminal
v_{t} = \sqrt{\frac{2 \cdot m \cdot g}{\rho \cdot A \cdot C_{d}}}
onde m é massa, g aceleração da gravidade, \rho densidade do fluido, A área de seção e C_{d} coeficiente de arrasto. Vamos verificar as dimensões de cada grandeza e mostrar que o resultado é \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 2

Anotamos as dimensões das variáveis envolvidas em termos de massa (M), comprimento (L) e tempo (T):
[m] = M,\quad [g] = \frac{L}{T^{2}},\quad [\rho] = \frac{M}{L^{3}},\quad [A] = L^{2},\quad [C_{d}] = 1.

Passo 3

Dimensão do numerador 2 \cdot m \cdot g. O fator numérico 2 é adimensional, logo
[2\,m\,g] = [m]\,[g] = M \cdot \frac{L}{T^{2}} = \frac{M\,L}{T^{2}}.

Passo 4

Dimensão do denominador \rho \cdot A \cdot C_{d}. Como C_{d} é adimensional,
[\rho\,A\,C_{d}] = [\rho]\,[A] = \frac{M}{L^{3}} \cdot L^{2} = \frac{M}{L}.

Passo 5

Dimensão da fração dentro da raiz:
\left[\frac{2\,m\,g}{\rho\,A\,C_{d}}\right] = \frac{\tfrac{M\,L}{T^{2}}}{\tfrac{M}{L}} = \frac{M\,L}{T^{2}} \cdot \frac{L}{M} = \frac{L^{2}}{T^{2}}.

Passo 6

Aplicando a raiz quadrada, obtemos
\left[\sqrt{\frac{2\,m\,g}{\rho\,A\,C_{d}}}\right] = \sqrt{\frac{L^{2}}{T^{2}}} = \frac{L}{T},
ou seja, metros por segundo.

Resposta

A análise dimensional mostra que a unidade de v_{t} é \mathrm{m}/\mathrm{s}.

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