A energia interna de um gás ideal é dada por:
U=\frac{3}{2} n R T
Sabendo que:
U=600 k J;
m=1 \mathrm{~kg} de gás N_{2};
M=28 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} / \mathrm{mol};
R=8,314 \mathrm{~J} / \mathrm{mol}. K.
a. Determine a temperatura do gás. Atenção às unidades de R e U.
b. Mostre por que é necessário inserir um fator 1000 no cálculo para obter o valor em K corretamente.

Passo 1

O enunciado dá a energia interna de um gás ideal como
U = \frac{3}{2}\,n\,R\,T
onde n é o número de mols, R é a constante universal dos gases em \mathrm{J/(mol\cdot K)} e T é a temperatura em kelvin. Temos: \displaystyle U = 600\\ \mathrm{kJ}, \displaystyle m = 1\\ \mathrm{kg} de N_2, \displaystyle M = 28\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}, \displaystyle R = 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Vamos achar n e depois T, cuidando das unidades de U.

Passo 2

Calcular o número de mols usando
n = \frac{m}{M}
Substituindo
n = \frac{1\\ \mathrm{kg}}{28\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}} = \frac{1}{0{,}028}\\ \mathrm{mol} \approx 35{,}714\\ \mathrm{mol}.

Passo 3

Converter U de \mathrm{kJ} para \mathrm{J} porque R está em \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
U = 600\\ \mathrm{kJ} = 600 \times 10^3\\ \mathrm{J} = 600000\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Isolar T em
U = \frac{3}{2}\,n\,R\,T \quad\Longrightarrow\quad T = \frac{2\,U}{3\,n\,R}.
Substituindo os valores:
T = \frac{2 \times 600000\\ \mathrm{J}}{3 \times 35{,}714\\ \mathrm{mol} \times 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}} \approx \frac{1200000}{890{,}8} \approx 1347\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Se esquecêssemos de converter U para joules (isto é, usássemos U=600 sem o fator 10^3), teríamos
T_{\text{errado}} = \frac{2 \times 600}{3 \times 35{,}714 \times 8{,}314} \approx \frac{1200}{890{,}8} \approx 1{,}35\\ \mathrm{K},
um resultado absurdo. Por isso é crucial multiplicar 600\\ \mathrm{kJ} por 1000 para usar as mesmas unidades de R.

Resposta

A temperatura do gás é aproximadamente 1347\\ \mathrm{K}.
O fator 1000 aparece ao converter U de \mathrm{kJ} para \mathrm{J}, para compatibilizar com as unidades de R.

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