Considere
f(x)=ln (x)-1
(a) Ache um intervalo [a, b] tal que f(a) e f(b) tenham sinais opostos.
(b) Faça 3 iterações do método da Falsa Posição, registrando o valor de x em cada passo.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é encontrar a raiz da função
f(x)=ln(x)-1,
ou seja, achar xnovo = b - f(b),b-af(b)-f(a) tal que .
O conteúdo é método numérico de busca de raiz (método da Falsa Posição, também chamado de Regula Falsi).
Vamos precisar de:
  • Teorema do valor intermediário (achar com ).
  • Fórmula da Falsa Posição:

[
x_{novo}

b - f(b),\frac{b-a}{f(b)-f(a)}.
]

Passo 2

Primeiro, escolher um intervalo f(2)=ln(2)-1approx0.6931-1=-0.3069<0, com sinais opostos:
Testa f(3)=ln(3)-1approx1.0986-1=0.0986>0 :
e :
Como , podemos usar .

Passo 3

Iteração 1:
Usa a fórmula
x1 =3 - f(3),3-2f(3)-f(2) =3 - 0.09861210.098612-(-0.306853) approx2.75696
Calcula
f(x1)=ln(2.75696)-1approx0.01441>0,
logo o novo intervalo é .

Passo 4

Iteração 2:
x2 =2.75696 - f(2.75696),2.75696-2f(2.75696)-f(2) =2.75696 - 0.0144100.756960.014410-(-0.306853) approx2.72301
f(x2)=ln(2.72301)-1approx0.00185>0,
novo intervalo: .

Passo 5

Iteração 3:
x3 =2.72301 - f(2.72301),2.72301-2f(2.72301)-f(2) =2.72301 - 0.0018510.723010.001851-(-0.306853) approx2.71867
f(x3)=ln(2.71867)-1approx1.0times10^-6>0,
intervalo final: .

Resposta

Após 3 iterações, os valores aproximados de x1approx2.75696, x2approx2.72301, x3approx2.71867 foram:

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