Para a função
f(x)=x^3-9 x+3,
considere o intervalo [0,1]. Aplique o método da Falsa Posição em 4 iterações e apresente os valores de x obtidos em cada passo.

Passo 1

Beleza, vamos aplicar o método da Falsa Posição (ou Regula Falsi) na função
f(x)=x^3-9x+3
no intervalo inicial xr=a,f(b)-b,f(a)f(b)-f(a), .
Conteúdo: método de aproximação de raízes baseado em interpolação linear entre os pontos que mudam de sinal.
O que precisamos:
  1. calcular e ,
  2. usar a fórmula da falsa posição
  1. verificar o sinal de para escolher o novo intervalo,
  2. repetir 4 vezes.

Passo 2

Iteração 1:
a) Valores iniciais:
a0=0, b0=1,
f(a0)=f(0)=0^3-9cdot0+3=3, f(b0)=f(1)=1^3-9cdot1+3=-5
b) Aplicando a fórmula:
x1=0cdot(-5)-1cdot3(-5)-3 =-3-8=0.375
c) Avaliando f(0.375)=0.375^3-9cdot0.375+3approx-0.3223 :
Como , a raiz fica no intervalo .

Passo 3

Iteração 2:
a) Novo intervalo: f(a1)=3, f(b1)approx-0.3222656 .
x2=0cdot(-0.3222656)-0.375cdot3(-0.3222656)-3 approx0.33851
b) Fórmula da falsa posição:
f(0.33851)approx0.03878-3.0466+3approx-0.00779
c) Avaliando :
Como , novo intervalo .

Passo 4

Iteração 3:
a) f(a2)=3, f(b2)approx-0.00779 .
x3=0cdot(-0.00779)-0.33851cdot3(-0.00779)-3 approx0.33778
b)
f(0.33778)approx0.03856-3.03999+3approx-0.00143
c)
Sinal trocou em , logo .

Passo 5

Iteração 4:
a) f(a3)=3, f(b3)approx-0.00143 .
x4=0cdot(-0.00143)-0.33778cdot3(-0.00143)-3 approx0.33746
b)
f(0.33746)approx0.03845-3.03711+3approx0.00134
c)
Agora , mas já temos as 4 iterações.

Resposta

Os valores de x1=0.37500, x2approx0.33851, x3approx0.33778, x4approx0.33746 obtidos em cada iteração foram:

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