Considere a função:
Determine e classifique os pontos críticos de
, determine os pontos de inflexão de
, calcule os limites que julgar importantes, determine as assíntotas e esboce o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo do gráfico de
ou seja: domínio, pontos críticos e classificação, pontos de inflexão, limites relevantes, assíntotas e esboço do gráfico. Vamos usar cálculo de derivadas para monotonicidade e concavidade, além de limites para assíntotas.
Passo 2
Primeiro achamos o domínio e a derivada. O denominador não pode ser zero, logo
Assim
Passo 3
Para achar pontos críticos resolvemos
e verificamos onde ela é indefinida:
Além disso
é indefinida em
(pontos de descontinuidade).
Para classificar analisamos o sinal de
:
Para classificar
- Em
temos e denominador positivo ao quadrado, logo (decrescente). - Em
idem . - Em
temos (crescente). - Em
idem .
Logo há mudança de decrescente para crescente em, que é um mínimo local.
Passo 4
Para inflexão calculamos
O numerador
nunca zera, então não há pontos de inflexão. A concavidade só muda de sinal ao cruzar as descontinuidades
.
Passo 5
Limites importantes:
logo há assíntota horizontal
.
Em :
.
Em :
.
Analogamente, em
e em
.
Em
Em
Analogamente, em
Passo 6
As assíntotas são:
Passo 7
Esboço de
:
- Em
: quando , decrescente e côncava para baixo até em . - Em
: em , decrescente e côncava para cima até o mínimo em , depois cresce e diverge em . - Em
: em , cresce e é côncava para baixo, aproximando-se de por baixo quando .
Resposta
Ponto crítico:
é mínimo local com
.
Não há pontos de inflexão.
Assíntotas verticais em e horizontal em
.
Não há pontos de inflexão.
Assíntotas verticais em