Considere a função:
1-14 x^2-1
Determine e classifique os pontos críticos de f, determine os pontos de inflexão de f, calcule os limites que julgar importantes, determine as assíntotas e esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo do gráfico de
f(x)=1-14x^2-1,
ou seja: domínio, pontos críticos e classificação, pontos de inflexão, limites relevantes, assíntotas e esboço do gráfico. Vamos usar cálculo de derivadas para monotonicidade e concavidade, além de limites para assíntotas.

Passo 2

Primeiro achamos o domínio e a derivada. O denominador não pode ser zero, logo
4x^2-1neq 0Longrightarrow xneq pm12
Assim
f'(x) =ddxl(1-(4x^2-1)^-1r) =8x,(4x^2-1)^-2

Passo 3

Para achar pontos críticos resolvemos f'(x)=0 e verificamos onde ela é indefinida:
f'(x)=0Longrightarrow 8x=0Longrightarrow x=0
Além disso f' é indefinida em x=pmtfrac12 (pontos de descontinuidade).
Para classificar x=0 analisamos o sinal de f':
  • Em (-,infty,-tfrac12) temos x<0 e denominador positivo ao quadrado, logo f'<0 (decrescente).
  • Em (-tfrac12,0) idem x<0 ,Rightarrow f'<0.
  • Em (0,tfrac12) temos x>0 ,Rightarrow f'>0 (crescente).
  • Em (tfrac12,infty) idem x>0 ,Rightarrow f'>0.
    Logo há mudança de decrescente para crescente em x=0, que é um mínimo local.
f(0)=1-1-1=2

Passo 4

Para inflexão calculamos
f''(x) =ddxl(8x(4x^2-1)^-2r) =-8l(12x^2+1r)(4x^2-1)^3
O numerador -8(12x^2+1) nunca zera, então não há pontos de inflexão. A concavidade só muda de sinal ao cruzar as descontinuidades x=pmtfrac12.

Passo 5

Limites importantes:
limxtopminftyf(x) =1-limxtopminfty14x^2-1 =1,
logo há assíntota horizontal y=1.
Em xtotfrac12^-: 4x^2-1to0^- Rightarrow14x^2-1to-infty Rightarrow fto+infty.
Em xtotfrac12^+: 4x^2-1to0^+ Rightarrow fto-infty.
Analogamente, em xto -tfrac12^+ fto+infty e em xto -tfrac12^- fto-infty.

Passo 6

As assíntotas são:
Vertical: x=-tfrac12,;x=+tfrac12, Horizontal: y=1

Passo 7

Esboço de f:
  • Em (-infty,-tfrac12): fto1 quando xto-infty, decrescente e côncava para baixo até fto-infty em xto-tfrac12^-.
  • Em (-tfrac12,tfrac12): fto+infty em xto-tfrac12^+, decrescente e côncava para cima até o mínimo em (0,2), depois cresce e diverge fto+infty em xtotfrac12^-.
  • Em (tfrac12,infty): fto-infty em xtotfrac12^+, cresce e é côncava para baixo, aproximando-se de y=1 por baixo quando xto+infty.

Resposta

Ponto crítico: x=0 é mínimo local com f(0)=2.
Não há pontos de inflexão.
Assíntotas verticais em x=pmtfrac12 e horizontal em y=1.

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