Sabendo-se que a equação x-e^{x}=0 admite uma raiz no intervalo ( 0,1 ), determine o valor desta raiz usando interpolação quadrática.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz de
x - e^{-x} = 0
no intervalo (0,1) usando interpolação quadrática. O conteúdo aqui é construção de um polinômio de grau 2 que interpola a função
f(x)=x - e^{-x}
em três pontos escolhidos no intervalo e, em seguida, resolver essa parábola para estimar a raiz.

Passo 2

Escolhemos os nós
x_0 = 0,\quad x_1 = 0,5,\quad x_2 = 1
e calculamos
f(x_0)=0 - e^{0}= -1,\quad f(x_1)=0{,}5 - e^{-0{,}5} \approx -0{,}10653,\quad f(x_2)=1 - e^{-1}\approx 0{,}63212.

Passo 3

Vamos ajustar o polinômio
Q(x)=a x^2 + b x + c
de modo que
Q(x_i)=f(x_i),\quad i=0,1,2.
De Q(x_0)=f(x_0)=-1 obtemos
c=-1.
De Q(x_2)=f(x_2) vem
a + b + c = 0{,}63212 \quad\Longrightarrow\quad a + b = 1{,}63212,
e de Q(x_1)=f(x_1) obtemos
0{,}25\,a + 0{,}5\,b + c = -0{,}10653 \quad\Longrightarrow\quad 0{,}25\,a + 0{,}5\,b = 0{,}89347 \quad\Longrightarrow\quad a + 2b = 3{,}57388.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} a + b = 1{,}63212,\\\ a + 2b = 3{,}57388, \end{cases}
achamos
b = 1{,}94176,\quad a = -0{,}30964.
Logo
Q(x) = -0{,}30964\,x^2 + 1{,}94176\,x - 1.

Passo 4

Para estimar a raiz aproximamos Q(x)=0. Usando a fórmula de Bhaskara na equação
-0{,}30964\,x^2 + 1{,}94176\,x - 1 = 0
(escrevendo-a como 0{,}30964\,x^2 -1{,}94176\,x +1=0), temos
\Delta = (-1{,}94176)^2 - 4\cdot 0{,}30964\cdot1 \approx 2{,}53289,
\sqrt\Delta \approx 1{,}59149,
x = \frac{1{,}94176 \pm 1{,}59149}{2\cdot 0{,}30964}.
Isso dá duas raízes, mas apenas uma fica em (0,1):
x \approx \frac{1{,}94176 - 1{,}59149}{0{,}61928}\approx 0{,}566.

Resposta

A raiz aproximada obtida por interpolação quadrática é
x \approx 0{,}566.

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