(Mackenzie-SP) Se D é o determinante da matriz \left[\begin{array}{ll}3^{x}+3^{-x} & 3^{x}-3^{-x} \\\\ 3^{x}-3^{-x} & 3^{x}+3^{-x}\end{array}\right], o valor \operatorname{delog}_{\frac{1}{2}} D é:
(a) -2
(b) -1
(c) 1
(d) 2
(e) 3

Passo 1

O enunciado pede o determinante D da matriz
\begin{pmatrix} 3^{x}+3^{-x} & 3^{x}-3^{-x}\\\\ 3^{x}-3^{-x} & 3^{x}+3^{-x} \end{pmatrix}
e depois solicita \operatorname{delog}_{\tfrac12}D. Para resolver, vamos usar a fórmula do determinante de uma matriz 2\times2 e em seguida a definição de logaritmo (no caso, interpretando “delog” como \log_{\tfrac12}D, conforme as opções).

Passo 2

Seja
a = 3^{x}+3^{-x}, \quad b = 3^{x}-3^{-x}.
Para uma matriz \begin{pmatrix}a&b\b&a\end{pmatrix} vale
D = \det = a^2 - b^2.
Logo,
D = (3^{x}+3^{-x})^2 - (3^{x}-3^{-x})^2 = 4\,(3^{x}\cdot3^{-x}) = 4\cdot3^{0} = 4.

Passo 3

Agora calculamos \log_{\tfrac12}D. Como D=4 e sabemos que
4 = \bigl(\tfrac12\bigr)^{-2},
temos
\log_{\tfrac12}4 = -2.

Resposta

(a) -2

Exercícios relacionados