1. Considere a função y dada por:
y(x)=C_{1} e^{x}+C_{2} e^{-x}
onde C_{1} e C_{2} são números reais.
(a) Encontre os valores de C_{1} e C_{2} tais que y(0)=1 e y^{\prime}(0)=-1. Nota: para determinar C_{1} e C_{2}, um sistema linear nestas variáveis é resolvido.
(b) Encontre os valores de C_{1} e C_{2} tais que y(0)=1 e y^{\prime}(0)=-1+\delta, onde |\delta| é um valor muito pequeno. Nota: novamente, para determinar C_{1} e C_{2}, um sistema linear nestas variáveis é resolvido.
(c) Faça uma análise e verifique se os sistemas dos itens (a) e (b) em relação aos valores C_{1} e C_{2} é bem posto.

Passo 1

O enunciado dá a função y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x} com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R} e pede três coisas:
  • (a) Determinar C_{1} e C_{2} de modo que y(0)=1 e y'(0)=-1.
  • (b) Determinar C_{1} e C_{2} de modo que y(0)=1 e y'(0)=-1+\delta, onde |\delta| é muito pequeno.
  • (c) Analisar se os sistemas dos itens (a) e (b) são bem postos (isto é: se a solução existe, é única e depende continuamente dos dados).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão de y(x) está dada.
  • As condições iniciais são valores de y(0) e y'(0).
  • Em (b) há uma perturbação pequena \delta no valor de y'(0).

Passo 2

Primeiro vamos escrever y(0) e y'(0) em termos de C_{1} e C_{2}.
Calcule y(0):
y(0)=C_{1}e^{0}+C_{2}e^{0}=C_{1}+C_{2}.
Calcule y'(x): derivando y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x},
y'(x)=C_{1}e^{x}-C_{2}e^{-x}.
Logo
y'(0)=C_{1}-C_{2}.
Portanto as condições iniciais se traduzem em sistemas lineares em C_{1},C_{2}:
  • condição sobre y(0): C_{1}+C_{2}= valor dado;
  • condição sobre y'(0): C_{1}-C_{2}= valor dado.

Passo 3

Resolvendo o item (a). As condições são y(0)=1\) e \(y'(0)=-1\). Escrevemos o sistema: \[\begin{cases} C_{1}+C_{2}=1,\\[4pt] C_{1}-C_{2}=-1. \end{cases}
Uma técnica muito simples para resolver um sistema do tipo
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=a,\\[4pt] C_{1}-C_{2}=b, \end{cases}
é somar as duas equações para eliminar C_{2}\] e subtrair para eliminar \(C_{1}. Aqui, somando:
(C_{1}+C_{2})+(C_{1}-C_{2})=1+(-1)\quad\Rightarrow\quad 2C_{1}=0.
Logo
C_{1}=0.
Substituindo na primeira equação,
0+C_{2}=1\quad\Rightarrow\quad C_{2}=1.
Portanto para o item (a) obtemos C_{1}=0 e C_{2}=1.]

Passo 4

Agora o item (b). As condições são y(0)=1\) e \(y'(0)=-1+\delta\). O sistema correspondente é \[\begin{cases} C_{1}+C_{2}=1,\\[4pt] C_{1}-C_{2}=-1+\delta. \end{cases}
Usando a mesma técnica (somar as equações) obtém-se:
2C_{1}=1+(-1+\delta)=\delta.
Logo
C_{1}=\frac{\delta}{2}.
E substituindo na primeira equação:
\frac{\delta}{2}+C_{2}=1\quad\Rightarrow\quad C_{2}=1-\frac{\delta}{2}.
Portanto para o item (b) obtemos C_{1}=\dfrac{\delta}{2}\] e \(C_{2}=1-\dfrac{\delta}{2}.]

Passo 5

Para o item (c) vamos organizar o problema como um sistema linear matricial e analisar existência, unicidade e dependência contínua em relação aos dados.
Escrevendo o sistema geral com vetor \mathbf{C}=(C_{1},C_{2})^{T} e vetor de dados \mathbf{b}=(y(0),y'(0))^{T}, temos
\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}C_{1}\\[4pt] C_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y(0)\\[4pt] y'(0)\end{pmatrix}.
Denote A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.
Calcule o determinante de A:
\det(A)=1\cdot(-1)-1\cdot 1=-2.
Como \det(A)\neq 0, a matriz A é invertível. Isso garante existência e unicidade da solução para qualquer vetor de dados \mathbf{b}. Portanto o sistema é (em sentido de existência e unicidade) bem posto.]

Passo 6

Agora, verificação de estabilidade (dependência contínua dos dados) e sensibilidade a perturbações pequenas nos dados.
A inversa de A pode ser calculada por fórmula para 2\times2:
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}-1 & -1\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.
Assim a solução \mathbf{C}=A^{-1}\mathbf{b}. Para ver a variação causada por uma pequena perturbação \delta no segundo componente de \mathbf{b} (isto é, \mathbf{b} passa de (1,-1)^{T} para (1,-1+\delta)^{T}), considere \Delta \mathbf{b}=(0,\delta)^{T}. A variação correspondente na solução é
\Delta \mathbf{C}=A^{-1}\Delta\mathbf{b} =\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\[4pt]\delta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{\delta}{2}\\[4pt]-\tfrac{\delta}{2}\end{pmatrix}.
Isto coincide com os resultados obtidos no item (b): \Delta C_{1}=\dfrac{\delta}{2} e \Delta C_{2}=-\dfrac{\delta}{2}.
Para quantificar a sensibilidade de forma geral usamos normas e o número de condição. Escolhendo a norma infinito (mais simples aqui):
\|A\|_{\infty}=\max_{i}\sum_{j}|a_{ij}|=\max(1+1,1+1)=2, \qquad \|A^{-1}\|_{\infty}= \max\bigl(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\bigr)=1.
Logo o número de condição em norma infinito é
\operatorname{cond}_{\infty}(A)=\|A\|_{\infty}\|A^{-1}\|_{\infty}=2\cdot 1=2,
um valor pequeno (próximo de 1) que indica que o sistema está bem condicionado: pequenas perturbações nos dados geram pequenas perturbações nas soluções (em norma apropriada). Mais precisamente, para \Delta\mathbf{b} com \|\Delta\mathbf{b}\|_{\infty}=|\delta| vale a desigualdade
\|\Delta\mathbf{C}\|_{\infty}\le \|A^{-1}\|_{\infty}\|\Delta\mathbf{b}\|_{\infty}=1\cdot|\delta|=|\delta|.
No nosso caso temos a variação exata \|\Delta\mathbf{C}\|_{\infty}=\dfrac{|\delta|}{2}\le|\delta|.
Observação importante sobre variação relativa: se um componente da solução inicial é zerado (como C_{1}=0 no item (a)), então qualquer perturbacão absoluta não nula gera uma variação relativa muito grande (por exemplo, relativo a C_{1} a variação é \dfrac{|\delta/2|}{0}, indefinida). Isso não contradiz bem-postura no sentido de Hadamard (existência, unicidade, continuidade absoluta): significa apenas que as variações relativas podem ser grandes quando a solução tem componentes muito pequenos. Em termos práticos, aqui o sistema é bem posto e bem condicionado, e a pequena perturbação \delta produz uma mudança controlada e proporcional nos coeficientes.]

Passo 7

Resumo interpretativo e dica para prova (forma amigável):
  • Para resolver rapidamente em prova: calcular y(0) e y'(0) transforma o problema em um sistema C_{1}+C_{2}=\cdots, C_{1}-C_{2}=\cdots. Somar e subtrair as equações resolve o sistema em dois passos. Isso é bem rápido sem calculadora.
  • Para verificar se o sistema é bem posto: escreva a matriz dos coeficientes, calcule o determinante; se det \neq0 há solução única. Para checar sensibilidade, calcule A^{-1} ou o número de condição aproximado; se cond não for grande (muito maior que 1) o sistema é bem condicionado.
  • No exercício, a matriz tem \det(A)=-2 e \operatorname{cond}_{\infty}(A)=2, então tudo está estável. Entretanto, atenção às variações relativas quando um coeficiente da solução é zero: mesmo uma pequena perturbação absoluta pode parecer grande em termos relativos.

Resposta

(a) C_{1}=0,\; C_{2}=1
(b) C_{1}=\dfrac{\delta}{2},\; C_{2}=1-\dfrac{\delta}{2}
(c) O sistema é bem posto: a matriz A=\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]1&-1\end{pmatrix} é invertível ( \det(A)=-2), bem condicionado ( \operatorname{cond}_{\infty}(A)=2); pequenas perturbações \delta causam variação \Delta C_{1}=\dfrac{\delta}{2},\\ \Delta C_{2}=-\dfrac{\delta}{2}.]

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