- Considere a função
dada por:
onde
e
são números reais.
(a) Encontre os valores de
e
tais que
e
. Nota: para determinar
e
, um sistema linear nestas variáveis é resolvido.
(b) Encontre os valores de
e
tais que
e
, onde
é um valor muito pequeno. Nota: novamente, para determinar
e
, um sistema linear nestas variáveis é resolvido.
(c) Faça uma análise e verifique se os sistemas dos itens (a) e (b) em relação aos valores
e
é bem posto.
(a) Encontre os valores de
(b) Encontre os valores de
(c) Faça uma análise e verifique se os sistemas dos itens (a) e (b) em relação aos valores
Passo 1
O enunciado dá a função
com
e pede três coisas:
- (a) Determinar
e de modo que e . - (b) Determinar
e de modo que e , onde é muito pequeno. - (c) Analisar se os sistemas dos itens (a) e (b) são bem postos (isto é: se a solução existe, é única e depende continuamente dos dados).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A expressão de
está dada. - As condições iniciais são valores de
e . - Em (b) há uma perturbação pequena
no valor de .
Passo 2
Primeiro vamos escrever
e
em termos de
e
.
Calcule
:
Calcule
: derivando
,
Logo
Portanto as condições iniciais se traduzem em sistemas lineares em
:
- condição sobre
: valor dado; - condição sobre
: valor dado.
Passo 3
Resolvendo o item (a). As condições são
Uma técnica muito simples para resolver um sistema do tipo
é somar as duas equações para eliminar
. Aqui, somando:
Logo
Substituindo na primeira equação,
Portanto para o item (a) obtemos
e
.]
Passo 4
Agora o item (b). As condições são
Usando a mesma técnica (somar as equações) obtém-se:
Logo
E substituindo na primeira equação:
Portanto para o item (b) obtemos
.]
Passo 5
Para o item (c) vamos organizar o problema como um sistema linear matricial e analisar existência, unicidade e dependência contínua em relação aos dados.
Escrevendo o sistema geral com vetor
e vetor de dados
, temos
Denote
.
Calcule o determinante de
:
Como
, a matriz
é invertível. Isso garante existência e unicidade da solução para qualquer vetor de dados
. Portanto o sistema é (em sentido de existência e unicidade) bem posto.]
Passo 6
Agora, verificação de estabilidade (dependência contínua dos dados) e sensibilidade a perturbações pequenas nos dados.
A inversa de
pode ser calculada por fórmula para
:
Assim a solução
. Para ver a variação causada por uma pequena perturbação
no segundo componente de
(isto é,
passa de
para
), considere
. A variação correspondente na solução é
Isto coincide com os resultados obtidos no item (b):
e
.
Para quantificar a sensibilidade de forma geral usamos normas e o número de condição. Escolhendo a norma infinito (mais simples aqui):
Logo o número de condição em norma infinito é
um valor pequeno (próximo de 1) que indica que o sistema está bem condicionado: pequenas perturbações nos dados geram pequenas perturbações nas soluções (em norma apropriada). Mais precisamente, para
com
vale a desigualdade
No nosso caso temos a variação exata
.
Observação importante sobre variação relativa: se um componente da solução inicial é zerado (como
no item (a)), então qualquer perturbacão absoluta não nula gera uma variação relativa muito grande (por exemplo, relativo a
a variação é
, indefinida). Isso não contradiz bem-postura no sentido de Hadamard (existência, unicidade, continuidade absoluta): significa apenas que as variações relativas podem ser grandes quando a solução tem componentes muito pequenos. Em termos práticos, aqui o sistema é bem posto e bem condicionado, e a pequena perturbação
produz uma mudança controlada e proporcional nos coeficientes.]
Passo 7
Resumo interpretativo e dica para prova (forma amigável):
- Para resolver rapidamente em prova: calcular
e transforma o problema em um sistema , . Somar e subtrair as equações resolve o sistema em dois passos. Isso é bem rápido sem calculadora. - Para verificar se o sistema é bem posto: escreva a matriz dos coeficientes, calcule o determinante; se det
há solução única. Para checar sensibilidade, calcule ou o número de condição aproximado; se cond não for grande (muito maior que 1) o sistema é bem condicionado. - No exercício, a matriz tem
e , então tudo está estável. Entretanto, atenção às variações relativas quando um coeficiente da solução é zero: mesmo uma pequena perturbação absoluta pode parecer grande em termos relativos.
Resposta
(a)
(b)
(b)
(c) O sistema é bem posto: a matriz
é invertível (
), bem condicionado (
); pequenas perturbações
causam variação
.]