Considere a função f(x) dada pela tabela:
c|ccccc $x$ & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 hline$f(x)$ & -1 & 5 & 1 & 5 & 35 -2 -1 0 1 2
I=integral-2^2 f(x) d x -1 5 1 5 35
(a) Avalie 1 / 3 usando a fórmula I de Simpson.
(b) Se os valores tabelados são de um polinômio de grau 3, o que pode ser afirmado sobre o erro cometido na aproximação de 1 / 3 pela fórmula de Simpson?

Passo 1

Temos um problema de integração numérica: aproximar integral-2^2 f(x),dx usando a regra composta 1/3 de Simpson com os valores de f(x) em cinco pontos. O conteúdo necessário é a fórmula composta de Simpson e o cálculo do passo h.

Passo 2

Como são cinco pontos, temos n=4 subintervalos. Calculamos o passo
h = b - an = 2 - (-2)4 = 1

Passo 3

Aplicamos então a fórmula composta de Simpson 1/3:
I approx h3l(f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + f4r),
onde fi = f(xi).

Passo 4

Substituindo os valores da tabela: f0 = f(-2) = -1, f1 = 5, f2 = 1, f3 = 5 e f4 = 35. Dentro do colchete:
-1 + 4cdot5 + 2cdot1 + 4cdot5 + 35 = 76 Multiplicando pelo fator h3 = 13 obtemos
I approx 13 cdot 76 = 763 approx 25,3333

Passo 5

Se f é um polinômio de grau 3, a regra de Simpson 1/3 (que tem grau de exatidão 3) é exata. Portanto não há erro na aproximação.

Resposta

I = 763, e o erro é zero, pois a regra de Simpson é exata para polinômios de grau até 3.

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