Considere a integral:
I=integral0^0.8(x^2-cos x) d x
(a) Quantos intervalos seriam necessários para aproximar I usando a regra do trapézio com erro inferior a 10^-2 ?
(b) Calcular I com o h obtido no item (a).

Passo 1

Temos a integral
I=integral0^0.8l(x^2-cos xr),dx
O assunto aqui é integrar numericamente com a regra do trapézio e estimar o número de intervalos para que o erro fique abaixo de 10^-2. Vamos precisar da fórmula de erro do trapézio e da segunda derivada de f(x)=x^2-cos x.

Passo 2

A regra do trapézio para n intervalos tem erro limitado por
|ET|<=(b-a)^312n^2max[a,b]|f''(x)|
Aqui a=0, b=0.8 e
cos x<=1
Como max f''(x)=2+1=3, temos

Passo 3

Substituindo na fórmula de erro e exigindo |ET|<10^-2:
(0.8)^3cdot312,n^2<=10^-2
Calculando (0.8)^3=0.512 e simplificando,
1.53612,n^2=0.128n^2<=10^-2
o que dá
n^2>=0.1280.01=12.8Rightarrow n>=raiz12.8approx3.58
Portanto, o menor inteiro n é 4.

Passo 4

Com n=4 temos passo h=(b-a)/n=0.8/4=0.2. A regra do trapézio diz:
T4=h2l(f(x0)+2sumk=1^3f(xk)+f(x4)r),
com xk=0+0.2k para k=0,1,2,3,4.

Passo 5

Calculando f(x)=x^2-cos x em cada nó:
f(0)=-1, f(0.2)approx-0.94007, f(0.4)approx-0.76106, f(0.6)approx-0.46534, f(0.8)approx-0.05671
Substituindo em T4 e multiplicando por h/2=0.1 obtém-se
T4approx0.1l(-1+2(-0.94007-0.76106-0.46534)-0.05671r)approx-0.53896

Resposta

a) São necessários 4 intervalos. b) Com h=0.2, a aproximação pelo trapézio é Iapprox-0.53896.

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