Obtenha a fórmula de integração numérica aberta de Newton-Cotes e a expressão do erro quando
.
Passo 1
A questão pede a fórmula aberta de Newton–Cotes para n=2 (ou seja, a regra de dois pontos sem usar os extremos do intervalo) e a expressão do erro associado. O assunto é integração numérica e, para isso, vamos precisar montar um polinômio de interpolação de grau 1 nos dois pontos interiores e integrá-lo de a até b, além de usar o termo de resto de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, definimos os pontos de interpolação e o passo h. Como a regra é aberta com dois pontos interiores, subdividimos [a,b] em três partes iguais. Logo,
[
h = \frac{b - a}{3},\quad x_1 = a + h,\quad x_2 = a + 2h
],
onde interpolamos f em x_1 e x_2 usando o polinômio de grau 1:
[
L(x) = f(x_1),\frac{x - x_2}{x_1 - x_2} + f(x_2),\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = f(a+h),\frac{x - (a+2h)}{-h} + f(a+2h),\frac{x - (a+h)}{h}.
]
[
h = \frac{b - a}{3},\quad x_1 = a + h,\quad x_2 = a + 2h
],
onde interpolamos f em x_1 e x_2 usando o polinômio de grau 1:
[
L(x) = f(x_1),\frac{x - x_2}{x_1 - x_2} + f(x_2),\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = f(a+h),\frac{x - (a+2h)}{-h} + f(a+2h),\frac{x - (a+h)}{h}.
]
Passo 3
Em seguida, integramos L(x) de a até b para obter a regra aproximada. Calculando
[
\int_a^b L(x),dx = \int_0^{3h} L(a + t),dt
]
(fazendo a troca t=x−a), a conta leva a
[
\int_a^b f(x),dx \approx \frac{3h}{2}\bigl[f(a+h) + f(a+2h)\bigr].
]
Como 3h = b−a, a fórmula fica
[
\int_a^b f(x),dx \approx \frac{b - a}{2}\Bigl[f\bigl(a + \tfrac{b-a}{3}\bigr) + f\bigl(a + 2\tfrac{b-a}{3}\bigr)\Bigr].
]
[
\int_a^b L(x),dx = \int_0^{3h} L(a + t),dt
]
(fazendo a troca t=x−a), a conta leva a
[
\int_a^b f(x),dx \approx \frac{3h}{2}\bigl[f(a+h) + f(a+2h)\bigr].
]
Como 3h = b−a, a fórmula fica
[
\int_a^b f(x),dx \approx \frac{b - a}{2}\Bigl[f\bigl(a + \tfrac{b-a}{3}\bigr) + f\bigl(a + 2\tfrac{b-a}{3}\bigr)\Bigr].
]
Passo 4
Para o erro, usamos o resto de Lagrange para polinômio de grau 1:
[
R(x) = \frac{f’’(\xi_x)}{2!}(x - x_1)(x - x_2).
]
Integrando de a até b e usando o teorema do valor médio para integrais, obtemos
[
E = \int_a^b R(x),dx = \frac{f’’(\xi)}{2}\int_a^b (x - x_1)(x - x_2),dx = 0{,}75,h^3,f’’(\xi).
]
Substituindo h = (b−a)/3 resulta
[
E = \frac{(b - a)^3}{36},f’’(\xi),
]
onde .
[
R(x) = \frac{f’’(\xi_x)}{2!}(x - x_1)(x - x_2).
]
Integrando de a até b e usando o teorema do valor médio para integrais, obtemos
[
E = \int_a^b R(x),dx = \frac{f’’(\xi)}{2}\int_a^b (x - x_1)(x - x_2),dx = 0{,}75,h^3,f’’(\xi).
]
Substituindo h = (b−a)/3 resulta
[
E = \frac{(b - a)^3}{36},f’’(\xi),
]
onde
Resposta
A regra aberta de Newton–Cotes para n=2 é
e o termo de erro associado é