Considere o problema de valor inicial:
\frac{d y}{d x}=x^{2}+y, \quad y(0)=1
Resolva utilizando o método de Runge-Kutta de 2^{\underline{\mathrm{a}}} ordem (RK2 - ponto médio) com passo h=0,1, até x=0,3. Forneça os cálculos e a tabela de resultados.

Passo 1

O problema é a EDO de primeira ordem
\frac{d y}{d x} = x^{2} + y,\quad y(0) = 1
Queremos aproximar a solução em x=0,1, 0,2 e 0,3 usando o método de Runge–Kutta de 2ª ordem (ponto médio) com passo h=0,1.

Passo 2

No método de ponto médio (RK2) definimos, a cada passo n:
k_{1} = f(x_{n},y_{n}),\quad k_{2} = f\bigl(x_{n} + \tfrac{h}{2},\,y_{n} + \tfrac{h}{2}k_{1}\bigr),
e então
y_{n+1} = y_{n} + h\,k_{2},\quad x_{n+1} = x_{n} + h.

Passo 3

Primeira iteração n=0:
x_{0}=0,\;y_{0}=1.
Calculamos
k_{1} = f(0,1) = 0^{2} + 1 = 1,
o ponto médio
x_{0} + \tfrac{h}{2} = 0,05,\quad y_{0} + \tfrac{h}{2}k_{1} = 1 + 0,05\cdot1 = 1,05,
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k_{2} = f(0,05,\,1,05) = (0,05)^{2} + 1,05 = 0,0025 + 1,05 = 1,0525,
e
y_{1} = 1 + 0,1\cdot1,0525 = 1 + 0,10525 = 1,10525,\quad x_{1} = 0,1.

Passo 4

Segunda iteração n=1:
x_{1}=0,1,\;y_{1}=1,10525.
k_{1} = f(0,1,\,1,10525) = 0,01 + 1,10525 = 1,11525,
x_{1} + \tfrac{h}{2} = 0,15,\quad y_{1} + \tfrac{h}{2}k_{1} = 1,10525 + 0,05\cdot1,11525 = 1,1610125,
k_{2} = f(0,15,\,1,1610125) = 0,0225 + 1,1610125 = 1,1835125,
y_{2} = 1,10525 + 0,1\cdot1,1835125 = 1,10525 + 0,11835125 = 1,22360125,\quad x_{2} = 0,2.

Passo 5

Terceira iteração n=2:
x_{2}=0,2,\;y_{2}=1,22360125.
k_{1} = f(0,2,\,1,22360125) = 0,04 + 1,22360125 = 1,26360125,
x_{2} + \tfrac{h}{2} = 0,25,\quad y_{2} + \tfrac{h}{2}k_{1} = 1,22360125 + 0,05\cdot1,26360125 = 1,2867813125,
k_{2} = f(0,25,\,1,2867813125) = 0,0625 + 1,2867813125 = 1,3492813125,
y_{3} = 1,22360125 + 0,1\cdot1,3492813125 = 1,22360125 + 0,13492813125 = 1,35852938125,\quad x_{3} = 0,3.

Resposta

Tabela de aproximações (x_{n},y_{n}):
\begin{array}{c|c} x_{n} & y_{n} \\\ \hline 0,0 & 1,00000 \\\\ 0,1 & 1,10525 \\\\ 0,2 & 1,22360 \\\\ 0,3 & 1,35853 \end{array}

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