Considere a função f(x) tabelada abaixo
i 0 1 2 3
x_{i} 0,8 -3,7 -2,2 9,2
f\left(x_{i}\right)=y_{i} -1 4 9 1
Seja p_{3}(x)=y_{0} L_{0}(x)+y_{1} L_{1}(x)+y_{2} L_{2}(x)+y_{3} L_{3}(x) o polinômio interpolador de f na forma de Lagrange relativamente ao pontos 0,8,-3,7,-2,2 e 9,2 . Então calcule o valor aproximado de L_{0}(-7)+L_{1}(-7)+L_{2}(4)+L_{3}(4).
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado fornece quatro pontos (x_i,y_i), com
x_0=0.8,\;x_1=-3.7,\;x_2=-2.2,\;x_3=9.2
e pede para calcular
L_0(-7)+L_1(-7)+L_2(4)+L_3(4),
onde cada L_i(x) é o polinômio base de Lagrange definido por
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\j\neq i}}^{3}\frac{x - x_j}{x_i - x_j}.

Passo 2

Para L_0(-7) temos denominador
D_0=(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3) =(0.8 -(-3.7))\,(0.8-(-2.2))\,(0.8-9.2) =4.5\times3.0\times(-8.4) =-113.4
e numerador em x=-7
N_0=(-7 -(-3.7))(-7 -(-2.2))(-7-9.2) =(-3.3)\times(-4.8)\times(-16.2) =-256.608.
Logo
L_0(-7)=\frac{N_0}{D_0}=\frac{-256.608}{-113.4}\approx2.2627.

Passo 3

Para L_1(-7) temos
D_1=(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3) =(-3.7-0.8)(-3.7-(-2.2))(-3.7-9.2) =-4.5\times(-1.5)\times(-12.9) =-87.075,
N_1=(-7-0.8)(-7-(-2.2))(-7-9.2) =(-7.8)\times(-4.8)\times(-16.2) =-606.528,
L_1(-7)=\frac{-606.528}{-87.075}\approx6.9656.
Portanto
L_0(-7)+L_1(-7)\approx2.2627+6.9656=9.2283.

Passo 4

Para L_2(4) calculamos
D_2=(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3) =(-2.2-0.8)(-2.2-(-3.7))(-2.2-9.2) =-3.0\times1.5\times(-11.4) =51.3,
N_2=(4-0.8)(4-(-3.7))(4-9.2) =3.2\times7.7\times(-5.2) =-128.128,
L_2(4)=\frac{-128.128}{51.3}\approx-2.4976.
Para L_3(4) temos
D_3=(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2) =(9.2-0.8)(9.2-(-3.7))(9.2-(-2.2)) =8.4\times12.9\times11.4 =1235.304,
N_3=(4-0.8)(4-(-3.7))(4-(-2.2)) =3.2\times7.7\times6.2 =152.768,
L_3(4)=\frac{152.768}{1235.304}\approx0.1237.
Logo
L_2(4)+L_3(4)\approx-2.4976+0.1237=-2.3739.

Passo 5

Somando tudo,
L_0(-7)+L_1(-7)+L_2(4)+L_3(4) \approx9.2283+(-2.3739)=6.8544.

Resposta

Aproximadamente 6.8544.

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