Considere a função f tabelada abaixo
i 0 1 2 3
x_{i} -9,9 -1 0,7 8,7
f\left(x_{i}\right) 5,1 9,5 9,5 5,3
Se p_{3}(x) é o polinômio interpolador de f relativamente a x_{0}, x_{1}, x_{2} e x_{3}, então p_{3}(7,9) é aproximadamente igual a…
Observação: Preencha o espaço da resposta apenas com números, utilize arredondamentos com 4 casas decimais no mínimo (Ex: 1,2345) e não utilize espaços.
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado dá a tabela dos pontos (x_i,f(x_i)), com
(x_0,f(x_0))=(-9,9,\,5,1),\quad (x_1,f(x_1))=(-1,\,9,5),\quad (x_2,f(x_2))=(0,7,\,9,5),\quad (x_3,f(x_3))=(8,7,\,5,3),
e pede o valor de p_3(7,9), onde p_3 é o polinômio interpolador de grau <=3. Vamos usar a forma de Lagrange para calcular
p_3(7,9)=\sum_{i=0}^{3}f(x_i)\,L_i(7,9),
onde
L_i(x)=\prod_{j\neq i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.

Passo 2

Calcular os denominadores
d_i=\prod_{j\neq i}(x_i-x_j).
Para i=0:
d_0 = (x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3) =(-9,9+1)\,(-9,9-0,7)\,(-9,9-8,7) =(-8,9)(-10,6)(-18,6) =-1\,754,724.
Para i=1:
d_1 = (x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3) =( -1+9,9)(-1-0,7)(-1-8,7) =(8,9)(-1,7)(-9,7) =146,761.
Para i=2:
d_2 = (x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3) =(0,7+9,9)(0,7+1)(0,7-8,7) =(10,6)(1,7)(-8) =-144,16.
Para i=3:
d_3 = (x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2) =(8,7+9,9)(8,7+1)(8,7-0,7) =(18,6)(9,7)(8) =1 443,36.

Passo 3

Calcular os numeradores em x=7,9:
N_i=\prod_{j\neq i}(7,9-x_j).
Para i=0:
N_0=(7,9+1)(7,9-0,7)(7,9-8,7) =(8,9)(7,2)(-0,8) =-51,264.
Para i=1:
N_1=(7,9+9,9)(7,9-0,7)(7,9-8,7) =(17,8)(7,2)(-0,8) =-102,528.
Para i=2:
N_2=(7,9+9,9)(7,9+1)(7,9-8,7) =(17,8)(8,9)(-0,8) =-126,736.
Para i=3:
N_3=(7,9+9,9)(7,9+1)(7,9-0,7) =(17,8)(8,9)(7,2) =1 140,624.

Passo 4

Obter os coeficientes de Lagrange \displaystyle L_i(7,9)=\frac{N_i}{d_i} e então
p_3(7,9)=\sum_{i=0}^3 f(x_i)\,L_i(7,9).
Calculando numericamente:
L_0\approx0,0292,\quad L_1\approx-0,6986,\quad L_2\approx0,8791,\quad L_3\approx0,7903,
p_3(7,9)\approx5,1\cdot0,0292+9,5\cdot(-0,6986)+9,5\cdot0,8791+5,3\cdot0,7903\approx6,0524.

Resposta

6,0524

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