Escrever o produto como a soma ou a diferença, na forma mais simples possível.
2 \cos (\frac{\pi}{6}) \operatorname{sen}(\frac{5 \pi}{3})

Passo 1

O enunciado pede escrever o produto
2 \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{5\pi}{3}\bigr)
como soma ou diferença, usando fórmulas de transformação de produto em soma da trigonometria.

Passo 2

A fórmula que relaciona produto de cosseno e seno a soma ou diferença é
2 \cos(A)\,\sin(B) \;=\;\sin\bigl(B + A\bigr)\;-\;\sin\bigl(B - A\bigr).

Passo 3

Aplicando A = \tfrac{\pi}{6} e B = \tfrac{5\pi}{3} na fórmula, obtemos
2 \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{5\pi}{3}\bigr) = \sin\!\Bigl(\tfrac{5\pi}{3} + \tfrac{\pi}{6}\Bigr) - \sin\!\Bigl(\tfrac{5\pi}{3} - \tfrac{\pi}{6}\Bigr).

Passo 4

Calculando os ângulos:
\tfrac{5\pi}{3} + \tfrac{\pi}{6} = \tfrac{10\pi + \pi}{6} = \tfrac{11\pi}{6}, \quad \tfrac{5\pi}{3} - \tfrac{\pi}{6} = \tfrac{10\pi - \pi}{6} = \tfrac{9\pi}{6} = \tfrac{3\pi}{2}.
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2 \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{5\pi}{3}\bigr) = \sin\!\bigl(\tfrac{11\pi}{6}\bigr) - \sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr).

Passo 5

Avaliação das funções:
\sin\!\bigl(\tfrac{11\pi}{6}\bigr) = -\tfrac{1}{2}, \quad \sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) = -1.
Portanto
-\tfrac{1}{2} - (-1) = -\tfrac{1}{2} + 1 = \tfrac{1}{2}.

Resposta

\tfrac{1}{2}

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