Considere a função f(x)=e^x+sin (x) e os pontos x0=0, x1=1 e x2=2.
Determine o polinômio interpolador de grau 2 usando a forma de Newton.

Passo 1

Beleza, a questão é: “Interpolar a função P2(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) nos pontos , e usando a forma de Newton.”
Isso faz parte de “Interpolação Polinomial” e, em particular, da “Forma de Newton”.
O que vamos precisar:
  1. Avaliar a função em 0, 1 e 2.
  2. Calcular as diferenças divididas de primeira e segunda ordem.
  3. Montar o polinômio de Newton:

Passo 2

Primeiro a gente avalia a função nos três pontos:
f(0)=e^0+sin0=1+0=1,
f(1)=e^1+sin1=e+sin1,
f(2)=e^2+sin2

Passo 3

Agora, diferenças divididas de primeira ordem:
f[x0,x1]=f(1)-f(0)1-0 =(e+sin1)-11 =e+sin1-1,
f[x1,x2]=f(2)-f(1)2-1 =l(e^2+sin2 - (e+sin1)r) =e^2+sin2 - e - sin1
Teoria rápida: diferença dividida de 1ª ordem é basicamente a “inclinação média” entre dois pontos.

Passo 4

Diferença dividida de segunda ordem:
f[x0,x1,x2] =f[x1,x2]-f[x0,x1]2-0 =l(e^2+sin2 - e - sin1r)-l(e+sin1-1r)2
Se você simplificar o numerador:
e^2+sin2 - e - sin1 - e - sin1 +1 = e^2+sin2 -2e -2sin1 +1
Logo
f[x0,x1,x2] =e^2+sin2 -2e -2sin1 +12

Passo 5

Finalmente a forma de Newton de grau 2 é:
P2(x) = f(0) + f[x0,x1],(x-0) + f[x0,x1,x2],(x-0)(x-1)
Substituindo tudo:
P2(x) =1 +(e+sin1-1),x +e^2+sin2 -2e -2sin1 +12;x(x-1)

Resposta

boxedP2(x)=1+(e+sin1-1),x +e^2+sin2 -2e -2sin1 +12;x(x-1)

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