Considere a função f(x)=e^x+sin (x) e os pontos x0=0, x1=1 e x2=2.
Expresse o polinômio interpolador de grau 2 na forma de Lagrange.

Passo 1

Beleza! O exercício pede para a gente encontrar o polinômio interpolador de grau 2 usando a forma de Lagrange para a função $ f(x) = e^{x} + \sin(x) $ nos pontos $ x_{0}=0 $, $ x_{1}=1 $ e $ x_{2}=2 $. Vamos precisar entender como funciona a interpolação de Lagrange e aplicar isso para obter o polinômio desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio interpolador de Lagrange. Ele é uma combinação linear de polinômios base que passam exatamente pelos pontos dados. A fórmula geral para um polinômio de grau 2 é:
P(x) = f(x0) cdot L0(x) + f(x1) cdot L1(x) + f(x2) cdot L2(x)
onde cada $ L_i(x) $ é um polinômio de Lagrange definido por:
Li(x)

Passo 3

Vamos calcular os valores de $ f $ nos pontos dados:
f
f(0) = e^0 + sin(0) = 1 + 0 = 1
f(1) = e^1 + sin(1) approx 2.71828 + 0.84147 approx 3.55975

Passo 4

Agora, vamos calcular cada polinômio de Lagrange $ L_i(x) $.
Para $ L_0(x) $:
Li(x)
Para $ L_1(x) $:
L0(x)
Para $ L_2(x) $:
L0(x) = (x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) = (x - 1)(x - 2)(0 - 1)(0 - 2) = (x - 1)(x - 2)2

Passo 5

Agora, substituímos os valores de $ f $ e $ L_i(x) $ na fórmula do polinômio interpolador:
f
Substituindo:
Li(x)

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
P(x) = (x - 1)(x - 2)2 - 3.55975x(x - 2) + 8.29836x(x - 1)2

Passo 7

Distribuindo os termos:
P(x) = x^2 - 3x + 22 - 3.55975(x^2 - 2x) + 8.29836(x^2 - x)2
P(x) = x^22 - 3x2 + 1 - 3.55975x^2 + 7.1195x + 4.14918x^2 - 4.14918x

Passo 8

Agrupando os termos semelhantes:
  • Termos com $ x^2 $:
x^2
  • Termos com $ x $:
12x^2 - 3.55975x^2 + 4.14918x^2 = (0.5 - 3.55975 + 4.14918)x^2 = 0.08943x^2
  • Constante:
x

Passo 9

Portanto, o polinômio interpolador de Lagrange de grau 2 fica:
P(x) approx 0.08943x^2 + 1.47032x + 1

Resposta

O polinômio interpolador de grau 2 na forma de Lagrange é:
P(x) approx 0.08943x^2 + 1.47032x + 1

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