Considere a função
e os pontos
e
.
Expresse o polinômio interpolador de grau 2 na forma de Lagrange.
Expresse o polinômio interpolador de grau 2 na forma de Lagrange.
Passo 1
Beleza! O exercício pede para a gente encontrar o polinômio interpolador de grau 2 usando a forma de Lagrange para a função $ f(x) = e^{x} + \sin(x) $ nos pontos $ x_{0}=0 $, $ x_{1}=1 $ e $ x_{2}=2 $. Vamos precisar entender como funciona a interpolação de Lagrange e aplicar isso para obter o polinômio desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio interpolador de Lagrange. Ele é uma combinação linear de polinômios base que passam exatamente pelos pontos dados. A fórmula geral para um polinômio de grau 2 é:
onde cada $ L_i(x) $ é um polinômio de Lagrange definido por:
Passo 3
Vamos calcular os valores de $ f $ nos pontos dados:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada polinômio de Lagrange $ L_i(x) $.
Para $ L_0(x) $:
Para $ L_1(x) $:
Para $ L_2(x) $:
Passo 5
Agora, substituímos os valores de $ f $ e $ L_i(x) $ na fórmula do polinômio interpolador:
Substituindo:
Passo 6
Vamos simplificar cada termo:
Passo 7
Distribuindo os termos:
Passo 8
Agrupando os termos semelhantes:
- Termos com $ x^2 $:
- Termos com $ x $:
- Constante:
Passo 9
Portanto, o polinômio interpolador de Lagrange de grau 2 fica:
Resposta
O polinômio interpolador de grau 2 na forma de Lagrange é: