Considere a função f(x)=x^{2}-4 x+4=(x-2)^{2}. A raiz é \xi=2.
a) Se você isolasse a raiz no intervalo [1,3], o que aconteceria ao tentar aplicar o Método da Bisseção? Explique por que o Teorema de Bolzano não se aplica neste caso.
b) Se você, de alguma forma, soubesse que a raiz está no intervalo [1.5,3], o Teorema de Bolzano se aplicaria? Por que o Método da Bisseção pode não ser o mais eficiente para encontrar raízes de funções que "tocam"o eixo O x em vez de “cruzá-lo”?

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=x^{2}-4x+4=(x-2)^{2} e diz que a raiz é \displaystyle \xi=2. As perguntas são:
a) Se eu isolar a raiz no intervalo [1,3], o que aconteceria ao tentar aplicar o Método da Bisseção? Explique por que o Teorema de Bolzano não se aplicar neste caso.
b) Se eu soubesse que a raiz está no intervalo [1{,}5,\,3], o Teorema de Bolzano se aplicaria? Por que o Método da Bisseção pode não ser o mais eficiente para encontrar raízes de funções que “tocam” o eixo Ox em vez de “cruzá‑lo”?
Informações relevantes dadas: a função é um polinômio (logo contínua em todo \mathbb{R}), a raiz exata é \xi=2, e os intervalos de interesse são [1,3] e [1{,}5,3].

Passo 2

Lembra do Teorema de Bolzano (também chamado de Teorema do Valor Intermediário em sua forma prática para raízes)? Ele diz o seguinte, em linguagem simples e precisa:
\text{Se }f\text{ é contínua em }[a,b]\text{ e }f(a)\cdot f(b)<0,\text{ então existe }c\in(a,b)\text{ tal que }f\text{(c)}=0.éíã
Explicando: a condição essencial é que os valores nos extremos tenham sinais opostos ( f(a) e f(b) devem ter produto negativo). A continuidade assegura que, ao passar de um sinal para outro, a função obrigatoriamente atinge zero em algum ponto interno. Se f(a)\cdot f(b)>0, o teorema não garante nada — pode haver raiz(s) ou não, ele apenas não se aplica.

Passo 3

Calculemos os valores nos extremos do intervalo [1,3]:
f(1)=(1-2)^{2}=1,
f(3)=(3-2)^{2}=1.
Como \displaystyle f(1)=1>0 e \displaystyle f(3)=1>0, temos
f(1)\cdot f(3)=1\cdot 1=1>0.
Logo a condição f(a)\cdot f(b)<0 do Teorema de Bolzano não é satisfeita, e portanto o teorema não garante a existência de uma raiz em (1,3). Portanto, em termos formais, não podemos iniciar o Método da Bisseção a partir de [1,3] porque a versão padrão do método exige que f(1) e f(3) tenham sinais opostos.
Observação prática importante (para não te pegar de surpresa na prova): se você ignorasse a exigência e calculasse o ponto médio de [1,3],
m=\frac{1+3}{2}=2,
então \displaystyle f(m)=f(2)=0 e você encontraria a raiz de primeira. Isso, porém, é uma coincidência especial: a bissecção só “acertou” porque o ponto médio foi exatamente a raiz. Em geral, sem mudança de sinal nos extremos, a bissecção não tem garantia de funcionar.

Passo 4

Agora o intervalo [1{,}5,3]. Calculemos:
f(1{,}5)=(1{,}5-2)^{2}=(-0{,}5)^{2}=0{,}25,
f(3)=(3-2)^{2}=1.
Temos \displaystyle f(1{,}5)=0{,}25>0 e \displaystyle f(3)=1>0, então
f(1{,}5)\cdot f(3)=0{,}25\cdot 1=0{,}25>0.
Portanto o Teorema de Bolzano também não se aplica a [1{,}5,3]. Novamente: o fato de a raiz \xi=2 estar dentro do intervalo não é suficiente para usar Bolzano — é necessário o choque de sinais nos extremos. A ausência de mudança de sinal não prova que não há raiz; prova apenas que Bolzano não garante.

Passo 5

Por que isso acontece aqui? Conceito útil: multiplicidade da raiz. Dizemos que uma raiz \xi tem multiplicidade m se f(\xi)=f'(\xi)=\cdots=f^{(m-1)}(\xi)=0 e f^{(m)}(\xi)\neq0. Para f(x)=(x-2)^{2} a raiz \xi=2 tem multiplicidade m=2 (dupla). Consequências práticas:
  • Se m é par, a função “toca” o eixo Ox e volta (não muda de sinal). Por isso não há mudança de sinal em torno da raiz.
  • Se m é ímpar, a função “cruza” o eixo Ox e troca de sinal.
No nosso caso m=2, então f(x)\ge 0 para todo x, e por isso f(a) e f(b) ficam do mesmo sinal em qualquer intervalo que contenha \xi. Isso é exatamente o motivo pelo qual Bolzano falha: falta mudança de sinal.
Também note que f'(x)=2(x-2) e f'(2)=0: a derivada nula mostra que a função é “plana” (tangente horizontal) no ponto da raiz — isto dificulta métodos que dependam da inclinação.

Passo 6

Por que a Bisseção pode não ser eficiente (ou aplicável) para raízes que tocam o eixo?
  • Requisito: o método da bisseção exige, na sua forma padrão, um intervalo com f(a)\cdot f(b)<0. Para raízes de multiplicidade par isso normalmente não existe, então o método não é aplicável.
  • Convergência da bisseção: quando aplicável, a bisseção reduz o erro aproximadamente pela metade a cada iteração. Mais precisamente, se o intervalo inicial tem comprimento L=b-a, após n iterações o erro máximo é \le \dfrac{L}{2^{n+1}}. Essa convergência é apenas linear (fator constante por iteração).
  • Mesmo métodos baseados em derivadas (como Newton) têm problemas com raízes múltiplas: para uma raiz simples Newton convergiria quadraticamente, mas para raiz de multiplicidade m>1 a convergência degrada para linear. Exemplo concreto aqui: para f(x)=(x-2)^{2},
f'(x)=2(x-2),
o passo de Newton é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n-\frac{(x_n-2)^{2}}{2(x_n-2)} = x_n-\frac{x_n-2}{2}=1+\frac{x_n}{2}.
Se definirmos o erro e_n=x_n-2, obtemos
e_{n+1}=\frac{1}{2}e_n.
Ou seja, a convergência é linear com razão 1/2, mais lenta do que o caso de raiz simples (onde Newton é quadrático). Portanto, tanto a bisseção (quando não aplicável) quanto Newton (quando aplicado sem modificar) apresentam limitações para raízes que “tocam” o eixo.
Boas alternativas quando suspeitamos de multiplicidade maior que 1:
  • Usar a forma modificada de Newton, que conhece a multiplicidade m:
x_{n+1}=x_n - m\frac{f(x_n)}{f'(x_n)},
que recupera convergência quadrática se m for correta.
  • Tentar detectar multiplicidade (examinar f') ou resolver g(x)=\gcd(f,f') (mais teórico).
  • Usar métodos que não dependam de mudança de sinal, ou minimizar |f(x)| (por exemplo métodos de otimização), ou fazer uma transformação que remova a multiplicidade.

Passo 7

Resumo prático e motivador: para [1,3] e [1{,}5,3] o Teorema de Bolzano não se aplica porque os valores nos extremos são positivos (sem mudança de sinal). Na prática, se por acaso o ponto médio for exatamente a raiz (como em [1,3]), a bisseção pode “achar” a raiz imediatamente, mas isso é sorte, não garantia. Para raízes que tocam o eixo (multiplicidade par) é preciso usar estratégias diferentes — detectar a multiplicidade e usar Newton modificado, ou métodos que explorem derivadas ou minimizem |f|. Você consegue — com esses conceitos em mente fica mais fácil identificar na prova quando a bisseção serve e quando não serve. Força aí!

Resposta

(a) O Teorema de Bolzano não se aplica porque \displaystyle f(1)=1>0 e \displaystyle f(3)=1>0, logo f(1)\cdot f(3)>0 (sem troca de sinais). Assim, a bisseção, na sua forma padrão, não pode ser iniciada; apenas por coincidência o ponto médio de [1,3] é 2 e então f(2)=0 (acharíamos a raiz por sorte, não por garantia do método).
(b) O Teorema de Bolzano também não se aplica em [1{,}5,3] porque \displaystyle f(1{,}5)=0{,}25>0 e \displaystyle f(3)=1>0 (sem troca de sinais). O método da bisseção não é apropriado para raízes que “tocam” o eixo (raiz de multiplicidade par), pois não há mudança de sinal; além disso, métodos como Newton têm convergência apenas linear em raízes múltiplas (no nosso caso e_{n+1}=\tfrac{1}{2}e_n), de modo que é melhor usar Newton modificado ou outras estratégias quando houver multiplicidade.

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