Considere a função
. A raiz é
.
a) Se você isolasse a raiz no intervalo
, o que aconteceria ao tentar aplicar o Método da Bisseção? Explique por que o Teorema de Bolzano não se aplica neste caso.
b) Se você, de alguma forma, soubesse que a raiz está no intervalo
, o Teorema de Bolzano se aplicaria? Por que o Método da Bisseção pode não ser o mais eficiente para encontrar raízes de funções que "tocam"o eixo
em vez de “cruzá-lo”?
a) Se você isolasse a raiz no intervalo
b) Se você, de alguma forma, soubesse que a raiz está no intervalo
Passo 1
O enunciado dá a função
e diz que a raiz é
. As perguntas são:
a) Se eu isolar a raiz no intervalo , o que aconteceria ao tentar aplicar o Método da Bisseção? Explique por que o Teorema de Bolzano não se aplicar neste caso.
b) Se eu soubesse que a raiz está no intervalo , o Teorema de Bolzano se aplicaria? Por que o Método da Bisseção pode não ser o mais eficiente para encontrar raízes de funções que “tocam” o eixo
em vez de “cruzá‑lo”?
a) Se eu isolar a raiz no intervalo
b) Se eu soubesse que a raiz está no intervalo
Informações relevantes dadas: a função é um polinômio (logo contínua em todo
), a raiz exata é
, e os intervalos de interesse são
e
.
Passo 2
Lembra do Teorema de Bolzano (também chamado de Teorema do Valor Intermediário em sua forma prática para raízes)? Ele diz o seguinte, em linguagem simples e precisa:
Explicando: a condição essencial é que os valores nos extremos tenham sinais opostos (
e
devem ter produto negativo). A continuidade assegura que, ao passar de um sinal para outro, a função obrigatoriamente atinge zero em algum ponto interno. Se
, o teorema não garante nada — pode haver raiz(s) ou não, ele apenas não se aplica.
Passo 3
Calculemos os valores nos extremos do intervalo
:
Como
e
, temos
Logo a condição
do Teorema de Bolzano não é satisfeita, e portanto o teorema não garante a existência de uma raiz em
. Portanto, em termos formais, não podemos iniciar o Método da Bisseção a partir de
porque a versão padrão do método exige que
e
tenham sinais opostos.
Observação prática importante (para não te pegar de surpresa na prova): se você ignorasse a exigência e calculasse o ponto médio de
,
então
e você encontraria a raiz de primeira. Isso, porém, é uma coincidência especial: a bissecção só “acertou” porque o ponto médio foi exatamente a raiz. Em geral, sem mudança de sinal nos extremos, a bissecção não tem garantia de funcionar.
Passo 4
Agora o intervalo
. Calculemos:
Temos
e
, então
Portanto o Teorema de Bolzano também não se aplica a
. Novamente: o fato de a raiz
estar dentro do intervalo não é suficiente para usar Bolzano — é necessário o choque de sinais nos extremos. A ausência de mudança de sinal não prova que não há raiz; prova apenas que Bolzano não garante.
Passo 5
Por que isso acontece aqui? Conceito útil: multiplicidade da raiz. Dizemos que uma raiz
tem multiplicidade
se
e
. Para
a raiz
tem multiplicidade
(dupla). Consequências práticas:
- Se
é par, a função “toca” o eixo e volta (não muda de sinal). Por isso não há mudança de sinal em torno da raiz. - Se
é ímpar, a função “cruza” o eixo e troca de sinal.
No nosso caso
, então
para todo
, e por isso
e
ficam do mesmo sinal em qualquer intervalo que contenha
. Isso é exatamente o motivo pelo qual Bolzano falha: falta mudança de sinal.
Também note que
e
: a derivada nula mostra que a função é “plana” (tangente horizontal) no ponto da raiz — isto dificulta métodos que dependam da inclinação.
Passo 6
Por que a Bisseção pode não ser eficiente (ou aplicável) para raízes que tocam o eixo?
- Requisito: o método da bisseção exige, na sua forma padrão, um intervalo com
. Para raízes de multiplicidade par isso normalmente não existe, então o método não é aplicável. - Convergência da bisseção: quando aplicável, a bisseção reduz o erro aproximadamente pela metade a cada iteração. Mais precisamente, se o intervalo inicial tem comprimento
, após iterações o erro máximo é . Essa convergência é apenas linear (fator constante por iteração). - Mesmo métodos baseados em derivadas (como Newton) têm problemas com raízes múltiplas: para uma raiz simples Newton convergiria quadraticamente, mas para raiz de multiplicidade
a convergência degrada para linear. Exemplo concreto aqui: para ,
o passo de Newton é
Se definirmos o erro
, obtemos
Ou seja, a convergência é linear com razão
, mais lenta do que o caso de raiz simples (onde Newton é quadrático). Portanto, tanto a bisseção (quando não aplicável) quanto Newton (quando aplicado sem modificar) apresentam limitações para raízes que “tocam” o eixo.
Boas alternativas quando suspeitamos de multiplicidade maior que 1:
- Usar a forma modificada de Newton, que conhece a multiplicidade
:
que recupera convergência quadrática se
for correta.
- Tentar detectar multiplicidade (examinar
) ou resolver (mais teórico). - Usar métodos que não dependam de mudança de sinal, ou minimizar
(por exemplo métodos de otimização), ou fazer uma transformação que remova a multiplicidade.
Passo 7
Resumo prático e motivador: para
e
o Teorema de Bolzano não se aplica porque os valores nos extremos são positivos (sem mudança de sinal). Na prática, se por acaso o ponto médio for exatamente a raiz (como em
), a bisseção pode “achar” a raiz imediatamente, mas isso é sorte, não garantia. Para raízes que tocam o eixo (multiplicidade par) é preciso usar estratégias diferentes — detectar a multiplicidade e usar Newton modificado, ou métodos que explorem derivadas ou minimizem
. Você consegue — com esses conceitos em mente fica mais fácil identificar na prova quando a bisseção serve e quando não serve. Força aí!
Resposta
(a) O Teorema de Bolzano não se aplica porque
e
, logo
(sem troca de sinais). Assim, a bisseção, na sua forma padrão, não pode ser iniciada; apenas por coincidência o ponto médio de
é
e então
(acharíamos a raiz por sorte, não por garantia do método).
(b) O Teorema de Bolzano também não se aplica em porque
e
(sem troca de sinais). O método da bisseção não é apropriado para raízes que “tocam” o eixo (raiz de multiplicidade par), pois não há mudança de sinal; além disso, métodos como Newton têm convergência apenas linear em raízes múltiplas (no nosso caso
), de modo que é melhor usar Newton modificado ou outras estratégias quando houver multiplicidade.
(b) O Teorema de Bolzano também não se aplica em