Considere a função
e os seguintes processos iterativos:
Faça análise de convergência em cada um dos itens acima. Em caso afirmativo para algum dos itens, determine
tal que
, usando M.A.S.,
.
Faça análise de convergência em cada um dos itens acima. Em caso afirmativo para algum dos itens, determine
Passo 1
Estamos resolvendo o problema de ponto-fixo para f(x)=x²–x–2, usando o processo x_{i+1}=φ(x_i)=x_i²–2. O conteúdo é método de aproximação sucessiva (MAS) para achar raízes de f, e precisamos analisar convergência (teste de ponto-fixo) e, se convergir, iterar até ε=10^{–2}.
Passo 2
Para achar os pontos-fixos, igualamos φ(x)=x:
que leva à equação
. As soluções são
e
, que são as raízes de f.
Passo 3
Calculamos a derivada φ’(x) para aplicar o teste de convergência do MAS:
Avaliando em cada ponto-fixo: para x=2 tem-se |φ’(2)|=|4|=4>1; para x=-1 tem-se |φ’(-1)|=| -2|=2>1.
Passo 4
Como em ambos os pontos-fixos |φ’(x̄)|>1, o método de ponto-fixo com φ(x)=x²–2 diverge em torno de x̄=2 e x̄=-1. Portanto não há convergência e não podemos obter aproximações das raízes via este processo.
Resposta
O processo iterativo com φ(x)=x²–2 diverge (|φ’(x̄)|>1 em ambas as raízes), logo não existe convergência e não se obtém aproximações para f(x)=0.