Resolva as equações abaixo, usando qualquer um dos métodos vistos, com epsilon=0.01 :
2 x+sin (x)-7=0

Passo 1

O enunciado pede pra achar a raiz da equação não-linear 2x + sin(x) - 7 = 0 com precisão epsilon = 0.01. O conteúdo é método numérico de busca de raízes (vamos usar o Teorema do Valor Intermediário e o método da bisseção) e precisamos de noções de continuidade e avaliação de função.

Passo 2

Primeiro, note que f(x) = 2x + sin(x) - 7 é contínua e, como f'(x) = 2 + cos(x) > 1, a função é estritamente crescente, garantindo raiz única.

Passo 3

Escolhemos um intervalo inicial onde f(x) muda de sinal. Calculando:
f(3) = 2cdot3 + sin(3) - 7 approx 6 + 0.141 - 7 = -0.859,
f(4) = 2cdot4 + sin(4) - 7 approx 8 - 0.757 - 7 = 0.243
Como f(3)<0 e f(4)>0, existe raiz em [3,4]. Vamos aplicar a bisseção até o tamanho do intervalo ficar menor que 0.01.

Passo 4

Fazemos 8 iterações (pois 1/2^8 = 0.0039 < 0.01):
intervalo [3.0000, 4.0000], ponto médio 3.5000, $f(3.5)\approx -0.351 $ ⇒ raiz em [3.5,4.0].
intervalo [3.5000, 4.0000], ponto médio 3.7500, $f(3.75)\approx -0.071 $ ⇒ raiz em [3.75,4.0].
intervalo [3.7500, 4.0000], ponto médio 3.8750, $f(3.875)\approx 0.081 $ ⇒ raiz em [3.75,3.875].
intervalo [3.7500, 3.8750], ponto médio 3.8125, $f(3.8125)\approx 0.0032 $ ⇒ raiz em [3.75,3.8125].
intervalo [3.7500, 3.8125], ponto médio 3.78125, $f(3.78125)\approx -0.035 $ ⇒ raiz em [3.78125,3.8125].
intervalo [3.78125, 3.8125], ponto médio 3.79688, $f(3.79688)\approx -0.0168 $ ⇒ raiz em [3.79688,3.8125].
intervalo [3.79688, 3.8125], ponto médio 3.80469, $f(3.80469)\approx -0.0061 $ ⇒ raiz em [3.80469,3.8125].
intervalo [3.80469, 3.8125], ponto médio 3.80859, $f(3.80859)\approx -0.0018 $ ⇒ intervalo final de largura 0.00391 < 0.01, critério atendido.

Passo 5

A raiz aproximada fica no ponto médio do último intervalo:
x approx 3.80859 + 3.81252 = 3.8105

Resposta

A solução aproximada é x approx 3.81.

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