Resolva as equações abaixo, usando qualquer um dos métodos vistos, com epsilon=0.01 :
x^2-2-log (x)=0

Passo 1

O problema pede para encontrar a raiz de
x^2 - 2 - ln(x) = 0
com tolerância varepsilon = 0.01. É um exercício de métodos numéricos (busca de raízes) e vamos precisar verificar continuidade de f(x) e usar o Teorema do Valor Intermediário para aplicar o método da bisseção.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = x^2 - 2 - ln(x)
Vendo que f é contínua em (0,infty), avaliamos nos extremos do intervalo inicial:
f(1)=1-2-0=-1<0,
f(2)=4-2-ln(2)approx2-0.693=1.307>0
Como f(1)cdot f(2)<0, existe pelo menos uma raiz em [1,2].

Passo 3

Agora fazemos bisseção até que o comprimento do intervalo seja menor que varepsilon=0.01.
  1. Primeiro ponto médio: m1=1.5, f(m1)approx-0.1555<0
    → novo intervalo [1.5,2].
  2. m2=1.75, f(m2)approx0.5029>0
    → novo intervalo [1.5,1.75].
  3. m3=1.625, f(m3)approx0.1566>0
    → novo intervalo [1.5,1.625].
  4. m4=1.5625, f(m4)approx-0.0049<0
    → novo intervalo [1.5625,1.625].
  5. m5=1.59375, f(m5)approx0.0237>0
    → novo intervalo [1.5625,1.59375].
  6. m6=1.578125, f(m6)approx0.0091>0
    → novo intervalo [1.5625,1.578125].
  7. m7=1.5703125, f(m7)approx0.0020>0
    → novo intervalo [1.5625,1.5703125] e agora 1.5703125-1.5625=0.0078125<0.01.

Passo 4

Com o tamanho do intervalo final menor que varepsilon, paramos e tomamos a raiz aproximada como o ponto médio:
xapprox1.5625+1.57031252=1.56640625

Resposta

A raiz aproximada é x ≈ 1.566 (com ε = 0.01).

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