Usando o Software Matlab(ou qualquer outro que construa gráficos), localize graficamente uma vizinhança para as raízes das funções abaixo e, determine uma raiz tomando como solução inicial um ponto nas vizinhanças da raiz.
f(x)=x^3-k x^2-7 x+16.7
Assuma k o primeiro dígito do seu R.A.

Passo 1

A função é f(x)=x³−k x²−7x+16.7, e queremos achar uma raiz real usando método de Newton, mas primeiro vamos precisar do gráfico para localizar uma vizinhança e da derivada f’(x)=3x²−2k x−7.

Passo 2

Para fixar ideias, assuma k=1 (você deve usar o dígito do seu R.A.). Então f(x)=x³−x²−7x+16.7. Usando um software, plotamos f(x) num intervalo como [−6,6] e observamos que f(−4)<0 e f(−3)>0. Logo há uma raiz em (−4,−3).

Passo 3

Aplique o método de Newton, cuja iteração é dada por:
xn+1=xn-f(xn)f'(xn),
onde
f'(x)=3x^2-2kx-7

Passo 4

Escolha x₀=−3.5 dentro da vizinhança (−4,−3). Calcule f(x₀) e f’(x₀):
f(-3.5)=(-3.5)^3-(-3.5)^2-7(-3.5)+16.7=-13.925,
f'(-3.5)=3(-3.5)^2-2cdot1cdot(-3.5)-7=36.75

Passo 5

Atualize para x₁:
x1=-3.5--13.92536.75approx-3.1214

Passo 6

Reitere: calcule f(x₁) e f’(x₁):
f(-3.1214)approx-1.629,
f'(-3.1214)approx28.475,

Passo 7

e então
x2=-3.1214--1.62928.475approx-3.0641

Passo 8

Mais uma iteração:
f(-3.0641)approx-0.037,
f'(-3.0641)approx27.291,

Passo 9

resultando em
x3=-3.0641--0.03727.291approx-3.0627

Resposta

Uma raiz real aproximada é x≈−3.0627.

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