Determine um ponto da função
, em que a primeira derivada da função
se anula, usando o Método de Newton
. O ponto encontrado é um ponto de mínimo de
? Justifique suas afirmações.
Passo 1
O enunciado pede pra encontrar um ponto onde a primeira derivada de f(x)=3x⁴–8x³–2x–3 se anula, usando o Método de Newton com ε=0,001, e depois decidir se esse ponto é mínimo ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar f. As derivadas são:
Essas expressões vão entrar no Método de Newton e no teste da segunda derivada.
Passo 3
O Método de Newton para achar raiz de f’(x)=0 usa a iteração
Precisamos de um chute inicial x₀. Observando que f’(2)=–2 e f’(2,1)≈1,6, há mudança de sinal perto de x=2. Então escolhemos x₀=2.
Passo 4
Agora, iteramos até |x_{n+1}−x_n|<0,001:
Para x₀=2:
f’(2)=–2,
f’’(2)=48,
f’(2)=–2,
f’’(2)=48,
Para x₁=2{,}04167:
f’(2{,}04167)≈0{,}083,
f’’(2{,}04167)≈52{,}01,
f’(2{,}04167)≈0{,}083,
f’’(2{,}04167)≈52{,}01,
|x_2−x_1|≈0{,}00160>0{,}001, continua.
Para x₂=2{,}04007:
f’(2{,}04007)≈–0{,}002,
f’’(2{,}04007)≈51{,}90,
f’(2{,}04007)≈–0{,}002,
f’’(2{,}04007)≈51{,}90,
|x_3−x_2|≈0{,}00004<0{,}001, paramos.
Passo 5
Agora temos o ponto crítico x≈2,04011. Para classificar, usamos o teste da segunda derivada: se f’’(x)>0, é mínimo; se f’’(x)<0, é máximo.
Calculando:
Logo, é um ponto de mínimo local.
Resposta
O Método de Newton fornece o ponto crítico x≈2,0401, e como f’’(2,0401)≈51,9>0, conclui-se que esse ponto é um mínimo local de f.