Determine um ponto da função f(x)=3 x^4-8 x^3-2 x-3, em que a primeira derivada da função f(x) se anula, usando o Método de Newton com epsilon=0.001. O ponto encontrado é um ponto de mínimo de f ? Justifique suas afirmações.

Passo 1

O enunciado pede pra encontrar um ponto onde a primeira derivada de f(x)=3x⁴–8x³–2x–3 se anula, usando o Método de Newton com ε=0,001, e depois decidir se esse ponto é mínimo ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar f. As derivadas são:
f'(x)=12x^3-24x^2-2
f''(x)=36x^2-48x
Essas expressões vão entrar no Método de Newton e no teste da segunda derivada.

Passo 3

O Método de Newton para achar raiz de f’(x)=0 usa a iteração
xn+1=xn-f'(xn)f''(xn)
Precisamos de um chute inicial x₀. Observando que f’(2)=–2 e f’(2,1)≈1,6, há mudança de sinal perto de x=2. Então escolhemos x₀=2.

Passo 4

Agora, iteramos até |x_{n+1}−x_n|<0,001:
Para x₀=2:
f’(2)=–2,
f’’(2)=48,
x1=2--248=2,04167
Para x₁=2{,}04167:
f’(2{,}04167)≈0{,}083,
f’’(2{,}04167)≈52{,}01,
x2=2,04167-0,08352,01approx2,04007
|x_2−x_1|≈0{,}00160>0{,}001, continua.
Para x₂=2{,}04007:
f’(2{,}04007)≈–0{,}002,
f’’(2{,}04007)≈51{,}90,
x3=2,04007--0,00251,90approx2,04011
|x_3−x_2|≈0{,}00004<0{,}001, paramos.

Passo 5

Agora temos o ponto crítico x≈2,04011. Para classificar, usamos o teste da segunda derivada: se f’’(x)>0, é mínimo; se f’’(x)<0, é máximo.
Calculando:
f''(2,04011)≈36(2,04011)^2-48(2,04011)≈51,9>0
Logo, é um ponto de mínimo local.

Resposta

O Método de Newton fornece o ponto crítico x≈2,0401, e como f’’(2,0401)≈51,9>0, conclui-se que esse ponto é um mínimo local de f.

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