Verifique que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é, u_{x y}=u_{y x}.
u=x^{4} y^{2}-2 x y^{5}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
u(x,y)=x^{4}y^{2}-2\,x\,y^{5}
e pede para verificar a conclusão do Teorema de Clairaut, ou seja, que
u_{xy} = u_{yx}.
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais primeiras u_{x} e u_{y} e em seguida derivar cada uma em relação à outra variável, obtendo u_{xy} e u_{yx}.

Passo 2

Para calcular u_{x} usamos a regra do poder na variável x, tratando y como constante. Assim,
u_{x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{4}y^{2}\bigr) \;-\;\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2\,x\,y^{5}\bigr) = 4\,x^{3}y^{2} \;-\;2\,y^{5}.

Passo 3

Agora derivamos u_{x} em relação a y para obter u_{xy}. Aplicando a regra do poder na variável y,
u_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(4\,x^{3}y^{2}-2\,y^{5}\bigr) = 8\,x^{3}y \;-\;10\,y^{4}.

Passo 4

Para comparar, calculamos u_{y}. Tratando x como constante e aplicando a regra do poder na variável y,
u_{y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{4}y^{2}\bigr) \;-\;\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2\,x\,y^{5}\bigr) = 2\,x^{4}y \;-\;10\,x\,y^{4}.

Passo 5

Finalmente, derivamos u_{y} em relação a x para obter u_{yx}. Usando a regra do poder na variável x,
u_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2\,x^{4}y - 10\,x\,y^{4}\bigr) = 8\,x^{3}y \;-\;10\,y^{4}.

Passo 6

Como obtivemos
u_{xy} = 8\,x^{3}y - 10\,y^{4} \quad\text{e}\quad u_{yx} = 8\,x^{3}y - 10\,y^{4},
vemos que u_{xy}=u_{yx}, confirmando a conclusão do Teorema de Clairaut.

Resposta

u_{xy} = u_{yx} = 8\,x^{3}y - 10\,y^{4}.

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