Verifique que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é,
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para verificar a conclusão do Teorema de Clairaut, ou seja, que
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais primeiras
e
e em seguida derivar cada uma em relação à outra variável, obtendo
e
.
Passo 2
Para calcular
usamos a regra do poder na variável
, tratando
como constante. Assim,
Passo 3
Agora derivamos
em relação a
para obter
. Aplicando a regra do poder na variável
,
Passo 4
Para comparar, calculamos
. Tratando
como constante e aplicando a regra do poder na variável
,
Passo 5
Finalmente, derivamos
em relação a
para obter
. Usando a regra do poder na variável
,
Passo 6
Como obtivemos
vemos que
, confirmando a conclusão do Teorema de Clairaut.