Verifique que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é,
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que, na função
as derivadas parciais mistas satisfazem
O conteúdo é o Teorema de Clairaut, que afirma que se
,
,
e
são contínuas em uma vizinhança, então as derivadas mistas coincidem. Como
é um polinômio, todas essas derivadas existem e são contínuas; basta calcular explicitamente.
Passo 2
Calcular primeiro
Tratando
como constante,
Em seguida, derivar
em relação a
:
Passo 3
Calcular agora
Tratando
como constante,
Derivando
em relação a
:
Passo 4
Comparando os resultados, vemos que
logo
Isso confirma a conclusão do Teorema de Clairaut para esta função.