Verifique que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é, u_{x y}=u_{y x}.
u=x^{4} y^{2}-2 x y^{5}

Passo 1

O enunciado pede para verificar que, na função
u(x,y)=x^{4}y^{2}-2xy^{5},
as derivadas parciais mistas satisfazem
u_{xy}=u_{yx}.
O conteúdo é o Teorema de Clairaut, que afirma que se u_{x}, u_{y}, u_{xy} e u_{yx} são contínuas em uma vizinhança, então as derivadas mistas coincidem. Como u é um polinômio, todas essas derivadas existem e são contínuas; basta calcular explicitamente.

Passo 2

Calcular primeiro
u_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{4}y^{2}-2xy^{5}\bigr).
Tratando y como constante,
u_{x}=4x^{3}y^{2}-2y^{5}.
Em seguida, derivar u_{x} em relação a y:
u_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(4x^{3}y^{2}-2y^{5}\bigr) =8x^{3}y-10y^{4}.

Passo 3

Calcular agora
u_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{4}y^{2}-2xy^{5}\bigr).
Tratando x como constante,
u_{y}=2x^{4}y-10xy^{4}.
Derivando u_{y} em relação a x:
u_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{4}y-10xy^{4}\bigr) =8x^{3}y-10y^{4}.

Passo 4

Comparando os resultados, vemos que
u_{xy}=8x^{3}y-10y^{4} \quad\text{e}\quad u_{yx}=8x^{3}y-10y^{4},
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u_{xy}=u_{yx}.
Isso confirma a conclusão do Teorema de Clairaut para esta função.

Resposta

u_{xy}=u_{yx}=8x^{3}y-10y^{4}.

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