Considere a função f(x)=\tan (x) e^{-0.5 x} com o intervalo inicial \left[a_{0}, b_{0}\right]=[2,4] utilizado como ponto de partida.
Ao se utilizar o método da falsa-posição para a encontrar um zero da função dentro do intervalo mencionado, gera-se a sequência de intervalos \left[a_{1}, b_{1}\right],\left[a_{2}, b_{2}\right],\left[a_{3}, b_{3}\right], \ldots.
Preencha as lacunas com os comprimentos dos intervalos b_{i}-a_{i} gerados a cada iteração, respectivamente:

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\tan(x)\,e^{-0.5x}
e o intervalo inicial \bigl[a_{0},b_{0}\bigr]=[2,4]. Como f(2)<0 e f(4)>0, existe uma raiz em [2,4]. Vamos aplicar o método da falsa posição, que em cada iteração calcula
x_{i} = b_{i-1} - f\bigl(b_{i-1}\bigr)\,\frac{b_{i-1}-a_{i-1}}{f\bigl(b_{i-1}\bigr)-f\bigl(a_{i-1}\bigr)},
depois escolhe o subintervalo onde há mudança de sinal.

Passo 2

Primeira iteração i=1:
Calcule
x_{1} = 4 - f(4)\,\frac{4-2}{f(4)-f(2)} \approx 4 - 0.1567\cdot\frac{2}{0.1567-(-0.8039)} \approx 3.6738.
Como f(3.6738)>0, o novo intervalo é
[a_{1},b_{1}]=[2,\,3.6738],
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b_{1}-a_{1}=3.6738-2=1.6738.

Passo 3

Segunda iteração i=2:
x_{2} = 3.6738 - f(3.6738)\,\frac{3.6738-2}{f(3.6738)-f(2)} \approx 3.6738 - 0.0937\cdot\frac{1.6738}{0.0937-(-0.8039)} \approx 3.4989.
Como f(3.4989)>0, o intervalo vira
[a_{2},b_{2}]=[2,\,3.4989],
e
b_{2}-a_{2}=3.4989-2=1.4989.

Passo 4

Terceira iteração i=3:
x_{3} = 3.4989 - f(3.4989)\,\frac{3.4989-2}{f(3.4989)-f(2)} \approx 3.4989 - 0.0649\cdot\frac{1.4989}{0.0649-(-0.8039)} \approx 3.3868.
Como f(3.3868)>0, o intervalo fica
[a_{3},b_{3}]=[2,\,3.3868],
portanto
b_{3}-a_{3}=3.3868-2=1.3868.

Resposta

1,6738; 1,4989; 1,3868

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