Seja a equação f(x)=x e^{-x}-e^{-3}
Encontre os zeros da função usando dois métodos numéricos a sua escolha. Considere \varepsilon= 10^{-5}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = x e^{-x} - e^{-3}
e pede para encontrar suas raízes (zeros) usando dois métodos numéricos à escolha, com critério de parada \varepsilon = 10^{-5}. O conteúdo é métodos de raiz de função: vamos usar o método da bisseção e o método de Newton–Raphson.

Passo 2

Antes de aplicar qualquer método, precisamos identificar intervalos em que \;f(x) muda de sinal, pois isso indica a existência de raiz.
Calculamos alguns valores-piloto:
f(0)=0\cdot e^{0}-e^{-3}=-e^{-3}<0,
f(1)=1\cdot e^{-1}-e^{-3}=e^{-1}-e^{-3}\approx0,3679-0,0498>0,
logo há uma raiz em [0,1].
Também
f(3)=3e^{-3}-e^{-3}=2e^{-3}>0,
f(5)=5e^{-5}-e^{-3}\approx0,0337-0,0498<0,
logo há outra raiz em [3,5]. Assim temos dois intervalos-braço: [0,1] e [3,5].

Passo 3

Método da bisseção: em cada intervalo [a,b] iteramos o ponto médio m=(a+b)/2, avaliamos f(m) e substituímos o intervalo [a,b] por [a,m] ou [m,b] de modo a manter sinal oposto em suas extremidades. Paramos quando b-a<\varepsilon.
Aplicando em [0,1] e [3,5] até \,b-a<10^{-5}\,, obtemos aproximadamente as raízes
x_1 \approx 0{,}04979,\quad x_2 \approx 3{,}57731.

Passo 4

Método de Newton–Raphson: partimos de um palpite x_0 e iteramos
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)},
onde
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x e^{-x}-e^{-3}\bigr) = e^{-x} - x e^{-x} = e^{-x}(1-x).
Para a raiz em [0,1] escolhemos x_0=0{,}05 e iteramos até \bigl|x_{n+1}-x_n\bigr|<10^{-5}. Para a raiz em [3,5] escolhemos x_0=4 e repetimos o mesmo critério. Após poucas iterações encontramos
x_1 \approx 0{,}04979,\quad x_2 \approx 3{,}57731.

Resposta

As duas raízes de f(x)=x e^{-x}-e^{-3} com precisão \varepsilon=10^{-5} são
x_1 \approx 0{,}04979,
x_2 \approx 3{,}57731.

Exercícios relacionados