(1) Encontre, aproximadamente, a raiz positiva da função f(x)=x^{2}-\cos (x) utilizando o Método das Secantes. Utilize o método gráfico para localizar um intervalo que contenha a raiz positiva. Considere x_{0}=0.7, x_{1}=0.8 e \varepsilon=10^{-2}.

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Pede-se encontrar, aproximadamente, a raiz positiva da função f(x)=x^{2}-\cos(x) usando o Método das Secantes.
  • Pede também que se utilize o método gráfico para localizar um intervalo que contenha a raiz positiva.
  • Dados fornecidos: pontos iniciais \,x_{0}=0{,}7\,,\;x_{1}=0{,}8, e tolerância \varepsilon=10^{-2}.
  • Objetivo numérico final: obter uma aproximação x tal que o critério de parada escolhido seja satisfeito (aqui usaremos o critério usual de diferença entre iterações: \lvert x_{k+1}-x_{k}\rvert<\varepsilon).

Passo 2

Localizando um intervalo com o método gráfico (procedimento prático sem desenhar o gráfico).
  • A ideia do “método gráfico” que usaremos é avaliar f em alguns pontos e ver onde muda de sinal (ou pelo menos localizar onde a curva cruza o eixo x). Isso dá um intervalo onde existe raiz.
  • Calcular f em pontos próximos:
    • f(0)=0^{2}-\cos(0)=0-1=-1.(mostrar que em x=0 a função é negativa.)
    • f(0{,}7)=0{,}7^{2}-\cos(0{,}7)=0{,}49-\cos(0{,}7)\approx0{,}49-0{,}764842\approx-0{,}274842.
    • f(0{,}8)=0{,}8^{2}-\cos(0{,}8)=0{,}64-\cos(0{,}8)\approx0{,}64-0{,}696707\approx-0{,}056707.
    • Para ver onde muda de sinal, avalia-se um pouco à direita de 0{,}8. Por exemplo: f(0{,}83)=0{,}83^{2}-\cos(0{,}83)\approx0{,}6889-\cos(0{,}83).Usando uma aproximação de \cos(0{,}83)\approx0{,}6749 f(0{,}83)\approx0{,}6889-0{,}6749\approx0{,}0140>0.
  • Conclusão do procedimento gráfico prático: há mudança de sinal entre x=0{,}8 (onde f<0) e x=0{,}83 (onde f>0), portanto a raiz positiva está aproximadamente no intervalo [0{,}8,\,0{,}83]. Os pontos iniciais dados \,x_{0}=0{,}7 e \,x_{1}=0{,}8 estão próximos desse intervalo e podem ser usados no método das secantes como pedido.

Passo 3

Apresentando o Método das Secantes (fórmula, ideia e critério de parada).
  • Ideia: aproximar a curva por uma reta (secante) que passa por (x_{k-1},f(x_{k-1})) e (x_{k},f(x_{k})) e usar a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação x_{k+1}.
  • Fórmula do método das secantes: x_{k+1}=x_{k}-f(x_{k})\;\frac{x_{k}-x_{k-1}}{f(x_{k})-f(x_{k-1})}.Explicando cada termo:
    • x_{k-1} e x_{k} são as duas últimas aproximações conhecidas.
    • f(x_{k-1}) e f(x_{k}) são os respectivos valores da função.
    • A fração \dfrac{x_{k}-x_{k-1}}{f(x_{k})-f(x_{k-1})} é a inclinação inversa da secante (substitui 1/f'(x_k) que seria usado em Newton).
  • Critério de parada adotado aqui: parar quando \lvert x_{k+1}-x_{k}\rvert<\varepsilon,com \varepsilon=10^{-2} dado no enunciado. (Também é bom verificar \lvert f(x_{k+1})\rvert para confirmar que a raiz está bem aproximada.)

Passo 4

Preparando os primeiros valores numéricos (avaliar f(x_{0}) e f(x_{1})).
  • Já calculamos (no passo gráfico) os valores: f(0{,}7)\approx-0{,}274842,\qquad f(0{,}8)\approx-0{,}056707.Vou chamar f_{0}=f(0{,}7) e f_{1}=f(0{,}8) para abreviar: f_{0}\approx-0{,}274842,\qquad f_{1}\approx-0{,}056707.

Passo 5

Primeira iteração do método das secantes: cálculo de x_{2}.
  • Usando a fórmula com x_{0}=0{,}7 e x_{1}=0{,}8: x_{2}=x_{1}-f_{1}\frac{x_{1}-x_{0}}{f_{1}-f_{0}}.Substituindo os números: x_{2}=0{,}8-(-0{,}056707)\cdot\frac{0{,}8-0{,}7}{-0{,}056707-(-0{,}274842)}.Calcular passo a passo: x_{1}-x_{0}=0{,}1,
f_{1}-f_{0}= -0{,}056707 - (-0{,}274842)=0{,}218135,
\frac{0{,}1}{0{,}218135}\approx0{,}4586.
Então
x_{2}=0{,}8 + 0{,}056707\cdot0{,}4586\approx0{,}8+0{,}026017\approx0{,}826017.
  • Diferença entre iterações: \lvert x_{2}-x_{1}\rvert\approx0{,}026017,que ainda é maior que \varepsilon=0{,}01, portanto continuamos.

Passo 6

Avaliar f(x_{2}) (para usar na próxima iteração) e explicar como avaliar sem muita sofisticação.
  • Primeiro calcular x_{2}^{2}: x_{2}^{2}\approx0{,}826017^{2}\approx0{,}682304.
  • Estimativa de \cos(0{,}826017):
    • Podemos usar uma expansão linear em torno de 0{,}8 ou uma calculadora; usando uma aproximação via desenvolvimento de Taylor curto em torno de 0{,}8 obtemos \cos(0{,}826017)\approx0{,}677934.
  • Logo f(x_{2})=x_{2}^{2}-\cos(x_{2})\approx0{,}682304-0{,}677934\approx0{,}004370.(Note que agora f(x_{2})>0, enquanto f(x_{1})<0; isso confirma que a raiz está entre x_{1} e x_{2}.)

Passo 7

Segunda iteração do método das secantes: cálculo de x_{3} usando x_{1} e x_{2}.
  • Usar a fórmula com x_{k-1}=x_{1}=0{,}8, x_{k}=x_{2}=0{,}826017, f_{k-1}=f_{1}, f_{k}=f_{2}: x_{3}=x_{2}-f_{2}\frac{x_{2}-x_{1}}{f_{2}-f_{1}}.Substituindo os números: x_{2}-x_{1}=0{,}026017,
f_{2}-f_{1}=0{,}004370-(-0{,}056707)=0{,}061077,
\frac{x_{2}-x_{1}}{f_{2}-f_{1}}\approx\frac{0{,}026017}{0{,}061077}\approx0{,}4260.
Então
x_{3}\approx0{,}826017-0{,}004370\cdot0{,}4260\approx0{,}826017-0{,}001862\approx0{,}824155.
  • Agora verificar o critério de parada: \lvert x_{3}-x_{2}\rvert\approx0{,}001862<\varepsilon=0{,}01.Portanto podemos parar aqui segundo o critério escolhido.

Passo 8

Verificação final (valor da função no último ponto) e interpretação.
  • Avaliar f(x_{3}) para confirmar que realmente estamos bem próximos de uma raiz: x_{3}^{2}\approx0{,}824155^{2}\approx0{,}679231,
\cos(0{,}824155)\approx0{,}679303,
f(x_{3})\approx0{,}679231-0{,}679303\approx-0{,}000072,
que é muito pequeno (próximo de zero), confirmando boa aproximação da raiz.
  • Interpretação: com os pontos iniciais dados \,x_{0}=0{,}7 e \,x_{1}=0{,}8 e critério \lvert x_{k+1}-x_{k}\rvert<10^{-2} o método das secantes converge rapidamente para uma raiz positiva aproximadamente igual a 0{,}824.

Resposta

x\approx0{,}824155

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