(1) Encontre, aproximadamente, a raiz positiva da função
utilizando o Método das Secantes. Utilize o método gráfico para localizar um intervalo que contenha a raiz positiva. Considere
e
.
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
- Pede-se encontrar, aproximadamente, a raiz positiva da função
usando o Método das Secantes. - Pede também que se utilize o método gráfico para localizar um intervalo que contenha a raiz positiva.
- Dados fornecidos: pontos iniciais
, e tolerância . - Objetivo numérico final: obter uma aproximação
tal que o critério de parada escolhido seja satisfeito (aqui usaremos o critério usual de diferença entre iterações: ).
Passo 2
Localizando um intervalo com o método gráfico (procedimento prático sem desenhar o gráfico).
- A ideia do “método gráfico” que usaremos é avaliar
em alguns pontos e ver onde muda de sinal (ou pelo menos localizar onde a curva cruza o eixo ). Isso dá um intervalo onde existe raiz. - Calcular
em pontos próximos: -
(mostrar que em a função é negativa.) -
-
- Para ver onde muda de sinal, avalia-se um pouco à direita de
. Por exemplo: Usando uma aproximação de dá
-
- Conclusão do procedimento gráfico prático: há mudança de sinal entre
(onde ) e (onde ), portanto a raiz positiva está aproximadamente no intervalo . Os pontos iniciais dados e estão próximos desse intervalo e podem ser usados no método das secantes como pedido.
Passo 3
Apresentando o Método das Secantes (fórmula, ideia e critério de parada).
- Ideia: aproximar a curva por uma reta (secante) que passa por
e e usar a interseção dessa reta com o eixo como nova aproximação . - Fórmula do método das secantes:
Explicando cada termo: -
e são as duas últimas aproximações conhecidas. -
e são os respectivos valores da função. - A fração
é a inclinação inversa da secante (substitui que seria usado em Newton).
-
- Critério de parada adotado aqui: parar quando
com dado no enunciado. (Também é bom verificar para confirmar que a raiz está bem aproximada.)
Passo 4
Preparando os primeiros valores numéricos (avaliar
e
).
- Já calculamos (no passo gráfico) os valores:
Vou chamar e para abreviar:
Passo 5
Primeira iteração do método das secantes: cálculo de
.
- Usando a fórmula com
e : Substituindo os números: Calcular passo a passo:
Então
- Diferença entre iterações:
que ainda é maior que , portanto continuamos.
Passo 6
Avaliar
(para usar na próxima iteração) e explicar como avaliar sem muita sofisticação.
- Primeiro calcular
: - Estimativa de
: - Podemos usar uma expansão linear em torno de
ou uma calculadora; usando uma aproximação via desenvolvimento de Taylor curto em torno de obtemos
- Podemos usar uma expansão linear em torno de
- Logo
(Note que agora , enquanto ; isso confirma que a raiz está entre e .)
Passo 7
Segunda iteração do método das secantes: cálculo de
usando
e
.
- Usar a fórmula com
, , , : Substituindo os números:
Então
- Agora verificar o critério de parada:
Portanto podemos parar aqui segundo o critério escolhido.
Passo 8
Verificação final (valor da função no último ponto) e interpretação.
- Avaliar
para confirmar que realmente estamos bem próximos de uma raiz:
que é muito pequeno (próximo de zero), confirmando boa aproximação da raiz.
- Interpretação: com os pontos iniciais dados
e e critério o método das secantes converge rapidamente para uma raiz positiva aproximadamente igual a .