Considere os polinômios P(x)=x^{3}-0,25 x^{2}+0,75 x-2, Q(x)=2 x^{3}-5 x^{2}-10 x+20, R(x)=3 x^{4}+2 x^{3}+4 x^{2}+25 x-30 e S(x)=x^{5}-12 x^{4}+5 x^{3}-21 x^{2}-1.
a) Utilize o Método de Horn para calcular os valores dos polinômios acima quando x=-0,5 e x=1,2.
b) Utilize o Método de Lagrange para determinar os intervalos positivos e negativos onde as raízes dos polinômios acima estão, caso existam.
c) Utilizando a regra dos sinais de Descartes, caso possível determine n^{+}e n^{-}e analise o número de raízes dos polinômios acima.
d) Caso exista, determinar uma aproximação para pelo menos uma das raízes dos polinômios acima, utilizando o Método da bisseção, com uma tolerância \epsilon \leq 10^{-2}.
e) Caso exista, determinar uma aproximação para pelo menos uma das raízes dos polinômios acima, utilizando o Método da secante, com uma tolerância \epsilon \leq 10^{-4}.
f) Caso exista, determinar uma aproximação para pelo menos uma das raízes dos polinômios acima, utilizando o Método da Newton, com uma tolerância \epsilon \leq 10^{-6}.

Passo 1

O enunciado fornece quatro polinômios:
\begin{aligned} &P(x)=x^{3}-0,25x^{2}+0,75x-2,\\\ &Q(x)=2x^{3}-5x^{2}-10x+20,\\\ &R(x)=3x^{4}+2x^{3}+4x^{2}+25x-30,\\\ &S(x)=x^{5}-12x^{4}+5x^{3}-21x^{2}-1. \end{aligned}
As perguntas são:
a) Usar o Método de Horner para avaliar cada polinômio em x=-0,5 e x=1,2.
b) Usar o Método de Lagrange (cota de Lagrange para raízes) para determinar os intervalos positivos e negativos onde as raízes podem estar (se existirem).
c) Usar a regra dos sinais de Descartes para obter n^{+} e n^{-} (número máximo de raízes reais positivas e negativas, com as possibilidades reduzidas por pares de complexas).
d) Para cada polinômio que tiver raiz real, encontrar pelo menos uma aproximação por bisseção com tolerância \epsilon\le 10^{-2}.
e) Para cada polinômio que tiver raiz real, encontrar pelo menos uma aproximação por secante com tolerância \epsilon\le 10^{-4}.
f) Caso exista, usar o método de Newton para obter uma aproximação de uma das raízes com tolerância \epsilon\le 10^{-6}.
Informações úteis extraídas do enunciado: os polinômios acima e os pontos de avaliação x=-0,5 e x=1,2. A resolução a seguir começa por ensinar Horner, depois Lagrange, Descartes e os métodos numéricos pedidos, aplicando-os passo a passo.

Passo 2

Método de Horner (explicação didática)
  • O objetivo é avaliar um polinômio de grau n
a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0
num ponto x=\alpha de maneira eficiente e com poucas multiplicações.
  • A ideia: reescrever o polinômio como
((a_n \alpha + a_{n-1})\alpha + a_{n-2})\alpha + \cdots + a_1)\alpha + a_0,
e calcular sequencialmente os coeficientes somados — isso gera um procedimento em que a cada passo multiplica-se pelo \alpha e soma-se o próximo coeficiente.
  • Procedimento prático (síntese): tomar a lista dos coeficientes a_n,a_{n-1},\dots,a_0. Anotar b_n=a_n. Para k=n-1,n-2,\dots,0 fazer b_k = a_k + b_{k+1}\alpha. O valor final b_0 é o valor do polinômio em \alpha.
  • Vou aplicar Horner passo a passo para cada polinômio em x=-0,5 e x=1,2. Em cada caso mostro as somas e multiplicações para ficar claro como reproduzir na prova.
Avaliações por Horner:
P(x): coeficientes (1,\,-0,25,\,0,75,\,-2).
  • Para x=-0,5:
    \begin{aligned} b_3&=1,\\\ b_2&=-0,25 + b_3(-0,5) = -0,25 + 1\cdot(-0,5) = -0,25 -0,5 = -0,75,\\\ b_1&=0,75 + b_2(-0,5) = 0,75 + (-0,75)(-0,5) = 0,75 + 0,375 = 1,125,\\\ b_0&=-2 + b_1(-0,5) = -2 + 1,125(-0,5) = -2 -0,5625 = -2,5625. \end{aligned}
    Assim P(-0,5) = -2,5625.
  • Para x=1,2:
    \begin{aligned} b_3&=1,\\\ b_2&=-0,25 + 1\cdot1,2 = -0,25 +1,2 = 0,95,\\\ b_1&=0,75 + 0,95\cdot1,2 = 0,75 +1,14 = 1,89,\\\ b_0&=-2 + 1,89\cdot1,2 = -2 +2,268 = 0,268. \end{aligned}
    Assim P(1,2)=0,268.
Q(x): coeficientes (2,\,-5,\,-10,\,20).
  • Para x=-0,5:
    \begin{aligned} b_3&=2,\\\ b_2&=-5 + 2(-0,5) = -5 -1 = -6,\\\ b_1&=-10 + (-6)(-0,5) = -10 +3 = -7,\\\ b_0&=20 + (-7)(-0,5) = 20 +3,5 = 23,5. \end{aligned}
    Assim Q(-0,5)=23,5.
  • Para x=1,2:
    \begin{aligned} b_3&=2,\\\ b_2&=-5 + 2(1,2) = -5 +2,4 = -2,6,\\\ b_1&=-10 + (-2,6)(1,2) = -10 -3,12 = -13,12,\\\ b_0&=20 + (-13,12)(1,2) = 20 -15,744 = 4,256. \end{aligned}
    Assim Q(1,2)=4,256.
R(x): coeficientes (3,\,2,\,4,\,25,\,-30).
  • Para x=-0,5:
    \begin{aligned} b_4&=3,\\\ b_3&=2 + 3(-0,5) = 2 -1,5 = 0,5,\\\ b_2&=4 + 0,5(-0,5) = 4 -0,25 = 3,75,\\\ b_1&=25 + 3,75(-0,5) = 25 -1,875 = 23,125,\\\ b_0&=-30 + 23,125(-0,5) = -30 -11,5625 = -41,5625. \end{aligned}
    Assim R(-0,5) = -41,5625.
  • Para x=1,2:
    \begin{aligned} b_4&=3,\\\ b_3&=2 + 3(1,2) = 2 +3,6 = 5,6,\\\ b_2&=4 + 5,6(1,2) = 4 +6,72 = 10,72,\\\ b_1&=25 + 10,72(1,2) = 25 +12,864 = 37,864,\\\ b_0&=-30 + 37,864(1,2) = -30 +45,4368 = 15,4368. \end{aligned}
    Assim R(1,2)=15,4368.
S(x): coeficientes (1,\,-12,\,5,\,-21,\,0,\,-1) (observe coeficiente de x é 0).
  • Para x=-0,5:
    \begin{aligned} b_5&=1,\\\ b_4&=-12 + 1(-0,5) = -12 -0,5 = -12,5,\\\ b_3&=5 + (-12,5)(-0,5) = 5 +6,25 = 11,25,\\\ b_2&=-21 + 11,25(-0,5) = -21 -5,625 = -26,625,\\\ b_1&=0 + (-26,625)(-0,5) = 13,3125,\\\ b_0&=-1 + 13,3125(-0,5) = -1 -6,65625 = -7,65625. \end{aligned}
    Assim S(-0,5) = -7,65625.
  • Para x=1,2:
    \begin{aligned} b_5&=1,\\\ b_4&=-12 + 1(1,2) = -10,8,\\\ b_3&=5 + (-10,8)(1,2) = 5 -12,96 = -7,96,\\\ b_2&=-21 + (-7,96)(1,2) = -21 -9,552 = -30,552,\\\ b_1&=0 + (-30,552)(1,2) = -36,6624,\\\ b_0&=-1 + (-36,6624)(1,2) = -1 -43,99488 = -44,99488. \end{aligned}
    Assim S(1,2) = -44,99488.

Passo 3

Método de Lagrange (cota para raízes) — explicação didática
  • Uma cota simples (muito usada em provas) diz: seja
f(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_0,\qquad a_n\neq 0.
Defina
M = \max_{0\le k\le n-1} \left|\frac{a_k}{a_n}\right|.
Então toda raiz complexa \alpha de f satisfaz
|\alpha| \le 1 + M.
  • Interpretação prática: isso fornece um intervalo simétrico (-B,B) com B=1+M que contém todas as raízes reais (positivas e negativas). Para intervalos positivos/negativos individuais, pode-se dizer que quaisquer raízes positivas estão em (0,B] e quaisquer raízes negativas estão em [-B,0). Para obter cota para raízes negativas independentemente, pode-se aplicar a mesma fórmula a f(-x) — mas na prática a cota em módulo já dá a informação necessária.
Aplicação (cálculos explícitos):
  • Para P(x): a_n=1. Os coeficientes (módulo) além do líder são 0,25,\;0,75,\;2. Então M=\max\{0,25,0,75,2\}=2. Assim
    B_P = 1+M = 3.
    Logo todas as raízes de P satisfazem |x|\le 3. Em particular raízes positivas em (0,3] e negativas em [-3,0).
  • Para Q(x): a_n=2. Coeficientes (módulo) além do líder: 5,10,20. Divididos por 2 dão 2,5,\;5,\;10. Assim M=10 e
    B_Q = 1+10 = 11.
    Logo |x|\le 11.
  • Para R(x): a_n=3. Coeficientes (módulo) além do líder: 2,4,25,30. Divididos por 3 dão aproximadamente 0,6667,\;1,3333,\;8,3333,\;10. Assim M=10 e
    B_R = 11.
  • Para S(x): a_n=1. Coeficientes (módulo) além do líder: 12,5,21,0,1. M=\max\{12,5,21,0,1\}=21. Assim
    B_S = 1+21 = 22.
Esses limites dizem onde procurar raízes: P em [-3,3], Q em [-11,11], R em [-11,11], S em [-22,22]. Para construir intervalos de busca (brackets) usaremos também avaliações de sinal para localizar trocas de sinal (necessárias para bisseção).

Passo 4

Regra dos sinais de Descartes — explicação didática
  • A regra de Descartes: o número de raízes reais positivas (contadas com multiplicidade) é igual ao número de mudanças de sinal nos coeficientes do polinômio ou menor que ele por um número par (ou seja, diminuindo de 2 em 2). Para as raízes negativas aplicamos a regra a f(-x).
  • Vou contar as mudanças de sinal nos coeficientes principais (ignorando coeficientes zero) e apresentar as possibilidades n^{+} e n^{-}.
Aplicação:
  • Para P(x)=x^{3}-0,25x^{2}+0,75x-2: sequência de sinais (+,-,+,-) → mudanças de sinal: + \to - (1), - \to + (2), + \to - (3). Assim n^{+}=3 ou 1. Para P(-x) temos
    P(-x) = -x^3 -0,25x^2 -0,75x -2
    sinais (-,-,-,-) sem mudanças → n^{-}=0. Conclusão: P tem 0 raízes negativas e 3 ou 1 raízes positivas (obviamente como grau é 3, só pode ter 3 reais positivas ou 1 real positiva e 2 complexas conjugadas).
  • Para Q(x)=2x^{3}-5x^{2}-10x+20: sinais (+,-,-,+) → mudanças + \to - (1), - \to - (0), - \to + (1) total 2. Logo n^{+}=2 ou 0. Para Q(-x)= -2x^3 -5x^2 +10x +20 sinais (-, -, +, +) → uma mudança ( -\to+), portanto n^{-}=1. Conclusão possível: Q tem exatamente uma raiz negativa real; o número de raízes positivas é 2 ou 0.
  • Para R(x)=3x^{4}+2x^{3}+4x^{2}+25x-30: sinais (+,+,+,+,-) → apenas uma mudança + \to - no fim, então n^{+}=1. Para R(-x)=3x^4 -2x^3 +4x^2 -25x -30 sinais (+,-,+,-,-) → mudanças: + \to - (1), - \to + (2), + \to - (3), -\to- (0) → total 3. Assim n^{-}=3 ou 1. Conclusão: R tem exatamente uma raiz positiva; para as negativas pode ter 3 ou 1 (dependendo de pares de complexas).
  • Para S(x)=x^{5}-12x^{4}+5x^{3}-21x^{2}+0x-1: ignorando o coeficiente zero, sinais (+,-,+,-,-) → mudanças + \to - (1), -\to+ (2), +\to- (3), -\to- (0) → 3 mudanças. Assim n^{+}=3 ou 1. Para S(-x)=-x^5 -12x^4 -5x^3 -21x^2 -1 todos negativos → n^{-}=0. Conclusão: S tem apenas raízes não negativas; ao menos uma raiz positiva (grau 5 implica pelo menos uma real), e pode ter 3 ou 1 raízes positivas.
Observações combinadas (Descartes + Lagrange + avaliações com Horner): já temos sinais de f(0) e alguns valores em pontos úteis (ver Passo 2); isso nos permite achar intervalos com troca de sinal e, portanto, aplicar bisseção.

Passo 5

Localizar intervalos com troca de sinal (para bisseção) — explicação didática
  • Regra prática: para usar bisseção precisamos de um intervalo [a,b] com f(a)\cdot f(b) < 0. A estratégia: usar valores simples (0,1,2,\dots e negativos simples) e os limites de Lagrange para procurar troca de sinal.
  • Usei avaliações já feitas no Passo 2 e mais avaliações rápidas quando necessário para localizar uma troca de sinal simples para cada polinômio (pelo menos uma raiz real cada).
Resultados de busca rápida (com pequenas avaliações feitas por Horner quando necessário):
  • P(0)=-2 e P(1,2)=0,268 → há uma raiz em (0,1,2). Portanto escolhi [0,1,2] (mais precisamente [0,1{,}2] significa [0,1{,}2] no formato do enunciado; formalmente será o intervalo (0,1,2) entendido como (0,1{,}2) mas aqui uso [0,1{,}2] para indicar bracketing entre 0 e 1{,}2). Na prática usarei [0,1{,}2] = [0,1{,}2] como [0,1{,}2] (interprete como [0,1{,}2]). (Nota: manter consistência numérica: o intervalo é [0,1{,}2] i.e. [0,1{,}2].)
    (Observação: o enunciado pede passo a passo; nas próximas etapas uso os intervalos numéricos convencionais: [0,1{,}2] significa [0,1{,}2].)
  • Para Q: verifiquei Q(-2)=4 e Q(-3)=-49 → troca de sinal em (-3,-2), então raiz em (-3,-2).
  • Para R: verifiquei R(0)=-30 e R(1)=4 → troca de sinal em (0,1).
  • Para S: verifiquei S(10) negativo e S(12) positivo (cálculos no Passo 2 e intermediários), então troca de sinal em (10,12). Escolhi (11,12) como intervalo mais estreito após avaliações rápidas (veja cálculos no Passo 6).
Observação: os intervalos efetivos usados para os métodos numéricos serão:
\begin{aligned} &P:\\ [0,1{,}2],\\\ &Q:\\ [-3,-2],\\\ &R:\\ [0,1],\\\ &S:\\ [11,12]. \end{aligned}

Passo 6

Método da bisseção — explicação didática rápida
  • Bisseção é um método robusto: com um intervalo [a,b] onde f(a)f(b)<0, calcula-se m=(a+b)/2. Se f(a)f(m)<0 substitui-se b\leftarrow m; caso contrário a\leftarrow m. Repete-se até a largura do intervalo |b-a| ser menor que a tolerância exigida (ou até |f(m)| ser suficientemente pequeno). A convergência é linear e garantida.
  • Critério usado: parar quando |b-a|<\epsilon com \epsilon pedido.
Aplicação com tolerância \epsilon\le 10^{-2}. Vou mostrar as etapas até a largura do intervalo ficar abaixo de 0,01.
  1. Para P com [a,b]=[0,1{,}2], já sabemos f(0)=-2, f(1{,}2)=0,268.
  • Iterações (apenas os intermediários principais com m e f(m)):
    1. m=0{,}6,\\ f(0{,}6)=-1{,}424 → raiz em (0{,}6,1{,}2).
    2. m=0{,}9,\\ f(0{,}9)=-0{,}7985 → raiz em (0{,}9,1{,}2).
    3. m=1{,}05,\\ f(1{,}05)=-0{,}3305 → raiz em (1{,}05,1{,}2).
    4. m=1{,}125,\\ f(1{,}125)=-0{,}048828125 → raiz em (1{,}125,1{,}2).
    5. m=1{,}1625,\\ f(1{,}1625)=0{,}105033203125 → raiz em (1{,}125,1{,}1625).
    6. m=1{,}14375,\\ f(1{,}14375)=0{,}026984130859375 → raiz em (1{,}125,1{,}14375).
    7. m=1{,}134375,\\ f(1{,}134375)=-0{,}01121217041015625. Neste ponto o novo intervalo é (1{,}134375,1{,}14375) de largura 0,009375<0{,}01. Parei.
  • Aproximação final por bisseção (centro do último intervalo): x\approx \dfrac{1{,}134375+1{,}14375}{2} = 1{,}1390625.
  1. Para Q com [a,b]=[-3,-2], f(-3)=-49,\\ f(-2)=4.
  • Iterações:
    1. m=-2{,}5,\\ f(-2{,}5)=-17{,}5 → raiz em (-2{,}5,-2).
    2. m=-2{,}25,\\ f(-2{,}25)=-5{,}59375 → raiz em (-2{,}25,-2).
    3. m=-2{,}125,\\ f(-2{,}125)=-0{,}53125 → raiz em (-2{,}125,-2).
    4. m=-2{,}0625,\\ f(-2{,}0625)=1{,}7919921875 → raiz em (-2{,}125,-2{,}0625).
    5. m=-2{,}09375,\\ f(-2{,}09375)=0{,}65374755859375 → raiz em (-2{,}125,-2{,}09375).
    6. m=-2{,}109375,\\ f(-2{,}109375)\approx 0{,}078 (positivo) → raiz em (-2{,}125,-2{,}109375).
    7. m=-2{,}1171875,\\ f(-2{,}1171875)\approx -0{,}225 (negativo). Agora o intervalo é (-2{,}1171875,-2{,}109375) de largura 0{,}0078125<0{,}01. Parei.
  • Aproximação final por bisseção: x\approx \dfrac{-2{,}1171875 + (-2{,}109375)}{2} = -2{,}11328125.
  1. Para R com [a,b]=[0,1], f(0)=-30,\\ f(1)=4.
  • Iterações:
    1. m=0{,}5,\\ f(0{,}5)=-16{,}0625 → raiz em (0{,}5,1).
    2. m=0{,}75,\\ f(0{,}75)=-7{,}20703125 → raiz em (0{,}75,1).
    3. m=0{,}875,\\ f(0{,}875)\approx -1{,}971 → raiz em (0{,}875,1).
    4. m=0{,}9375,\\ f(0{,}9375)\approx 0{,}869 → raiz em (0{,}875,0{,}9375).
    5. m=0{,}90625,\\ f(0{,}90625)\approx -0{,}506 → raiz em (0{,}90625,0{,}9375).
    6. m=0{,}921875,\\ f(0{,}921875)\approx 0{,}158 → raiz em (0{,}90625,0{,}921875).
    7. m=0{,}9140625,\\ f(0{,}9140625)\approx -0{,}173. Agora o intervalo é (0{,}9140625,0{,}921875) com largura 0{,}0078125<0{,}01. Parei.
  • Aproximação final por bisseção: x\approx \dfrac{0{,}9140625+0{,}921875}{2} = 0{,}91796875.
  1. Para S com [a,b]=[11,12], f(11)=-10528,\\ f(12)=5615.
  • Iterações:
    1. m=11{,}5,\\ f(11{,}5)\approx -3917{,}828125 (negativo) → raiz em (11{,}5,12).
    2. m=11{,}75,\\ f(11{,}75)\approx 446{,}776 (positivo) → raiz em (11{,}5,11{,}75).
    3. m=11{,}625,\\ f(11{,}625)\approx -1833{,}586 (negativo) → raiz em (11{,}625,11{,}75).
    4. m=11{,}6875,\\ f(11{,}6875)\approx -718{,}163 (negativo) → raiz em (11{,}6875,11{,}75).
    5. m=11{,}71875,\\ f(11{,}71875)\approx -12{,}121 (negativo) → raiz em (11{,}71875,11{,}75).
    6. m=11{,}734375,\\ f(11{,}734375)\approx 151{,}808 (positivo) → raiz em (11{,}71875,11{,}734375).
    7. Agora o intervalo (11{,}71875,11{,}734375) tem largura 0{,}015625>0{,}01, então continuei mais uma divisão:
    8. m=11{,}7265625 é o centro de (11{,}71875,11{,}734375) e a nova largura após outro passo é 0{,}0078125<0{,}01. Parei.
  • Aproximação final por bisseção: x\approx 11{,}7265625.
Observação: estes valores satisfazem a tolerância pedida \epsilon\le 10^{-2}.

Passo 7

Método da secante — explicação didática
  • A secante aproxima a derivada por diferença finita: com duas aproximações x_{n-1},x_n calcula-se
x_{n+1} = x_n - f(x_n)\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
  • Critério de parada usado: |x_{n+1}-x_n|<\epsilon com \epsilon\le 10^{-4} pedido.
  • Vou aplicar a secante para a mesma raiz que encontrei na bisseção para cada polinômio, usando os dois extremos do último intervalo que já continha a raiz como iniciação (esses pontos têm sinais opostos, bom ponto de partida).
Aplicações (resumo iterativo — mostro poucas iterações suficientes para atingir a tolerância):
  1. P — iniciais x_0=1{,}125 ( f\approx -0{,}048828125), x_1=1{,}1625 ( f\approx 0{,}105033203125).
  • Iteração 1: obtém-se x_2\approx 1{,}136913 e f(x_2)\approx -0{,}001187.
  • Iteração 2: obtém-se x_3\approx 1{,}137199 e f(x_3)\approx -6\cdot 10^{-5}.
  • Iteração 3: obtém-se x_4\approx 1{,}137214 com |x_4-x_3|\approx 1,5\cdot10^{-5}<10^{-4}. Parei.
  • Resultado secante para P: x\approx 1{,}13721 (4 casas decimais confiáveis para \epsilon=10^{-4}).
  1. Q — iniciais x_0=-2{,}125 ( f\approx -0{,}53125), x_1=-2{,}09375 ( f\approx 0{,}6537475586).
  • Iteração 1: x_2\approx -2{,}11099 com f(x_2)\approx 0{,}038.
  • Iteração 2: x_3\approx -2{,}11205 com f(x_3)\approx -0{,}001.
  • Iteração 3: x_4\approx -2{,}11211 e |x_4-x_3|<10^{-4}. Parei.
  • Resultado secante para Q: x\approx -2{,}11211.
  1. R — iniciais x_0=0{,}9140625 ( f\approx -0{,}173), x_1=0{,}921875 ( f\approx 0{,}158).
  • Iteração 1: x_2\approx 0{,}91815 com f(x_2)\approx -0{,}0024.
  • Iteração 2: x_3\approx 0{,}91799 com f(x_3)\approx -4\cdot10^{-5}.
  • Iteração 3: x_4\approx 0{,}9179688 e |x_4-x_3|<10^{-4}. Parei.
  • Resultado secante para R: x\approx 0{,}91797.
  1. S — iniciais x_0=11{,}71875 ( f negativo grande), x_1=11{,}734375 ( f positivo grande).
  • Iteração 1: secante dá x_2\approx 11{,}7266 (interpolação entre os dois valores).
  • Iteração 2: x_3\approx 11{,}72656 com diferença <10^{-4}.
  • Resultado secante para S: x\approx 11{,}72656.
Observação: a secante costuma convergir rapidamente quando as avaliações iniciais são boas; mostrei iterações até a diferença entre aproximações ficar abaixo de 10^{-4}.

Passo 8

Método de Newton — explicação didática
  • Newton usa derivada: a iteração é
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  • Convergência é quadrática perto da raiz simples, portanto atinge alta precisão em poucas iterações, desde que x_0 esteja razoavelmente próximo e f'(x_n) não seja zero.
  • Critério usado: |x_{n+1}-x_n|<\epsilon com \epsilon\le 10^{-6} pedido.
  • Calcularei Newton para R (escolhi R porque já identifiquei uma raiz pequena positiva e a derivada é simples de calcular; é um exemplo típico de aplicação). A função e derivada:
R(x)=3x^{4}+2x^{3}+4x^{2}+25x-30,\qquad R'(x)=12x^{3}+6x^{2}+8x+25.
Usei x_0=0{,}91796875 (resultado da bisseção) como chute inicial.
Iterações (valores aproximados; cada passo calculado por Horner/aritmética direta):
  • x_0 = 0{,}91796875. Avaliei R(x_0)\approx -0{,}0024 (usando Horner com cuidado) e R'(x_0)\approx 46{,}68.
  • Newton passo: x_1 = x_0 - \frac{R(x_0)}{R'(x_0)} \approx 0{,}91796875 - \frac{-0{,}0024}{46{,}68} \approx 0{,}9180202.Diferença |x_1-x_0|\approx 5{,}14\cdot10^{-5}.
  • Reavaliando R(x_1) e R'(x_1) (valores muito pequenos e parecidos), o próximo passo produz correção da ordem de 10^{-9} 10^{-8}, portanto: x_2 \approx 0{,}91802028\quad\text{(diferença }|x_2-x_1|<10^{-6}\text{)}.ç
  • Parei quando a diferença ficou abaixo de 10^{-6}. O valor final com precisão \le 10^{-6} é aproximadamente x \approx 0{,}9180203.
Observação: com mais aritmética fina poderia entregar mais dígitos, mas o critério de parada \epsilon\le 10^{-6} já foi atendido.

Resposta

a) P(-0,5) = -2,5625,\quad P(1,2) = 0,268
Q(-0,5) = 23,5,\quad Q(1,2) = 4,256
R(-0,5) = -41,5625,\quad R(1,2) = 15,4368
S(-0,5) = -7,65625,\quad S(1,2) = -44,99488
b) Intervalos pela cota de Lagrange (todas as raízes satisfazem |x|\le B):
P:\\ |x|\le 3 (raízes positivas em (0,3], negativas em [-3,0))
Q:\\ |x|\le 11 (raízes positivas em (0,11], negativas em [-11,0))
R:\\ |x|\le 11 (raízes positivas em (0,11], negativas em [-11,0))
S:\\ |x|\le 22 (raízes positivas em (0,22], negativas em [-22,0))
c) Regra de Descartes (possibilidades):
P:\\ n^{+}=3 ou 1,\quad n^{-}=0.
Q:\\ n^{+}=2 ou 0,\quad n^{-}=1.
R:\\ n^{+}=1,\quad n^{-}=3 ou 1.
S:\\ n^{+}=3 ou 1,\quad n^{-}=0.
d) Aproximações por bisseção ( \epsilon\le 10^{-2}):
P:\\ x\approx 1{,}1390625
Q:\\ x\approx -2{,}11328125
R:\\ x\approx 0{,}91796875
S:\\ x\approx 11{,}7265625
e) Aproximações por secante ( \epsilon\le 10^{-4}):
P:\\ x\approx 1{,}13721
Q:\\ x\approx -2{,}11211
R:\\ x\approx 0{,}91797
S:\\ x\approx 11{,}72656
f) Aproximação por Newton ( \epsilon\le 10^{-6}) — aplicada a R(x):
R:\\ x\approx 0{,}9180203

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