Problema 17. Se z_{n}=\left(-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^{n}, com i^{2}=-1. Determine o menor inteiro positivo n tal que \left|z_{n+1}-z_{n}\right|^{2}>7000.

Passo 1

O enunciado dá a sequência complexa z_{n}=\left(-\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)^{n} com i^{2}=-1 e pede o menor inteiro positivo n tal que
\left|z_{n+1}-z_{n}\right|^{2}>7000.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A base complexa é w=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i.
  • A sequência é z_n = w^n.
  • A condição a satisfazer é \left|z_{n+1}-z_{n}\right|^{2}>7000.
    A partir disso vamos trabalhar para escrever \left|z_{n+1}-z_{n}\right|^{2} de uma forma que permita comparar com 7000.

Passo 2

Vamos representar a base complexa w em forma polar (módulo e argumento). Primeiro calculamos o módulo r=|w|.
r = \left|-\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right| = \sqrt{\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}.
Calculemos os quadrados:
\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4},\qquad \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \dfrac{3}{4}.
Somando:
r = \sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}} = \sqrt{\dfrac{12}{4}} = \sqrt{3}.

Passo 3

Agora determinamos o argumento \theta=\arg(w). Observando as componentes real e imaginária:
  • parte real de w é -\dfrac{3}{2} (negativa),
  • parte imaginária é \dfrac{\sqrt{3}}{2} (positiva).
    Portanto w está no segundo quadrante. A tangente do ângulo associado ao módulo absoluto das razões é
\tan\varphi = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \tan\left(\dfrac{\pi}{6}\right).
Como estamos no segundo quadrante, o argumento é
\theta = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}.

Passo 4

Escrevemos w em forma polar usando r e \theta:
w = r e^{i\theta} = \sqrt{3}\,e^{i\frac{5\pi}{6}}.
Pelo Teorema de De Moivre, para z_n=w^n temos
z_n = r^n e^{i n \theta} = (\sqrt{3})^{n} e^{i\frac{5n\pi}{6}}.

Passo 5

Vamos manipular z_{n+1}-z_n. Escrevendo z_{n+1}=w^{n+1} e z_n=w^n:
z_{n+1}-z_n = w^{n+1}-w^{n} = w^{n}\,(w-1).
Essa fatoração é útil porque nos permite usar propriedades do módulo.

Passo 6

Usamos a propriedade do módulo de produto: para quaisquer complexos a,b vale |ab|=|a||b|. Assim
\left|z_{n+1}-z_{n}\right| = |w^{n}||w-1| = |w|^{n}|w-1|.
Elevando ao quadrado:
\left|z_{n+1}-z_{n}\right|^{2} = |w|^{2n}\,|w-1|^{2}.
Sabemos de Passo 2 que |w|=\sqrt{3}, portanto |w|^{2}=(\sqrt{3})^{2}=3. Logo
\left|z_{n+1}-z_{n}\right|^{2} = 3^{n}\,|w-1|^{2}.

Passo 7

Agora calculamos |w-1|^{2}. Primeiro escrevemos w-1 em coordenadas:
w-1 = -\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i - 1 = -\dfrac{5}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i.
O quadrado do módulo é soma dos quadrados das partes real e imaginária:
|w-1|^{2} = \left(-\dfrac{5}{2}\right)^{2} + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} = \dfrac{25}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{28}{4} = 7.

Passo 8

Substituindo em \left|z_{n+1}-z_{n}\right|^{2} obtemos a expressão simples
\left|z_{n+1}-z_{n}\right|^{2} = 3^{n}\cdot 7 = 7\cdot 3^{n}.
A condição do enunciado fica
7\cdot 3^{n} > 7000.
Dividindo ambos os lados por 7:
3^{n} > \dfrac{7000}{7} = 1000.

Passo 9

Agora procuramos o menor inteiro positivo n tal que 3^{n} > 1000. Calculamos potências de 3:
3^{1}=3,\;3^{2}=9,\;3^{3}=27,\;3^{4}=81,\;3^{5}=243,\;3^{6}=729,\;3^{7}=2187.
Observa-se que 3^{6}=729 < 1000 e 3^{7}=2187 > 1000. Portanto o menor inteiro positivo que satisfaz a desigualdade é n=7.

Resposta

7

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