Problema 17. Se z_{n}=\left(-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^{n}, com i^{2}=-1. Determine o menor inteiro positivo n tal que \left|z_{n+1}-z_{n}\right|^{2}>7000.
Passo 1
O enunciado dá a sequência complexa z_{n}=\left(-\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)^{n} com i^{2}=-1 e pede o menor inteiro positivo n tal que
\left|z_{n+1}-z_{n}\right|^{2}>7000.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A base complexa é w=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i.
A sequência é z_n = w^n.
A condição a satisfazer é \left|z_{n+1}-z_{n}\right|^{2}>7000.
A partir disso vamos trabalhar para escrever \left|z_{n+1}-z_{n}\right|^{2} de uma forma que permita comparar com 7000.
Passo 2
Vamos representar a base complexa w em forma polar (módulo e argumento). Primeiro calculamos o módulo r=|w|.
r = \left|-\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right| = \sqrt{\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}.
r = \sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}} = \sqrt{\dfrac{12}{4}} = \sqrt{3}.
Passo 3
Agora determinamos o argumento \theta=\arg(w). Observando as componentes real e imaginária:
parte real de w é -\dfrac{3}{2} (negativa),
parte imaginária é \dfrac{\sqrt{3}}{2} (positiva).
Portanto w está no segundo quadrante. A tangente do ângulo associado ao módulo absoluto das razões é