Considere a integral abaixo:
Sabe-se que o valor exato da integral é
. Denotemos por
e
, o resultado da integral obtido, respectivamente, pelo método dos trapézios e
de Simpson. Seja
.
© Calcule
(Método de Romberg).
© Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular
onde
é a aproximação da integral
pelo método dos trapézios com passo
.
Matéria envolvida: métodos numéricos de integração (regra dos trapézios) e refinamento via Romberg.
Vamos precisar:
Matéria envolvida: métodos numéricos de integração (regra dos trapézios) e refinamento via Romberg.
Vamos precisar:
- Saber aplicar a regra dos trapézios para
e para . - Substituir na fórmula de Romberg acima.
Passo 2
Calcular
com
.
• Número de subintervalos: .
• Nós: ,
,
.
• Função :
f(0)=0,
f(0.5)=0{,}5^3 e^{0.5}=0,125\cdot e^{0,5}\approx0{,}20609,
f(1)=1\cdot e^1=e\approx2{,}71828.
• Regra dos trapézios:
• Número de subintervalos:
• Nós:
• Função
f(0)=0,
f(0.5)=0{,}5^3 e^{0.5}=0,125\cdot e^{0,5}\approx0{,}20609,
f(1)=1\cdot e^1=e\approx2{,}71828.
• Regra dos trapézios:
Passo 3
Calcular
com
.
• .
• Nós: ,
,
,
,
.
• Valores de :
f(0)=0,
f(0{,}25)=0{,}25^3 e^{0,25}\approx0{,}020063,
f(0{,}5)\approx0{,}20609,
f(0{,}75)=0{,}75^3 e^{0,75}\approx0{,}89310,
f(1)\approx2{,}71828.
• Regra dos trapézios:
•
• Nós:
• Valores de
f(0)=0,
f(0{,}25)=0{,}25^3 e^{0,25}\approx0{,}020063,
f(0{,}5)\approx0{,}20609,
f(0{,}75)=0{,}75^3 e^{0,75}\approx0{,}89310,
f(1)\approx2{,}71828.
• Regra dos trapézios:
Passo 4
Agora aplica Romberg: