Considere a integral abaixo:
I=integral0^1 x^3 e^x d x
Sabe-se que o valor exato da integral é I=0,5634363. Denotemos por It(h) e Is(h), o resultado da integral obtido, respectivamente, pelo método dos trapézios e 1 / 3 de Simpson. Seja h=0,5.
© Calcule R1(h)=4 It(h / 2)-It(h)3 (Método de Romberg).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular
R1(h);=;4,It(h/2);-;It(h)3
onde I=integral0^1 x^3e^x,dx é a aproximação da integral
pelo método dos trapézios com passo .
Matéria envolvida: métodos numéricos de integração (regra dos trapézios) e refinamento via Romberg.
Vamos precisar:
  1. Saber aplicar a regra dos trapézios para e para .
  2. Substituir na fórmula de Romberg acima.

Passo 2

Calcular It(h) =h2l[f(x0)+2f(x1)+f(x2)r] =0,52l[0+2cdot0,20609+2,71828r] =0,782615 com .
• Número de subintervalos: .
• Nós: , , .
• Função :
f(0)=0,
f(0.5)=0{,}5^3 e^{0.5}=0,125\cdot e^{0,5}\approx0{,}20609,
f(1)=1\cdot e^1=e\approx2{,}71828.
• Regra dos trapézios:

Passo 3

Calcular It(h/2) =0,252l[f0+2(f1+f2+f3)+f4r] =0,125,[0+2(0,020063+0,20609+0,89310)+2,71828] approx0,6195985 com .
.
• Nós: , , , , .
• Valores de :
f(0)=0,
f(0{,}25)=0{,}25^3 e^{0,25}\approx0{,}020063,
f(0{,}5)\approx0{,}20609,
f(0{,}75)=0{,}75^3 e^{0,75}\approx0{,}89310,
f(1)\approx2{,}71828.
• Regra dos trapézios:

Passo 4

Agora aplica Romberg:
R1(h) =4,It(h/2)-It(h)3 =4cdot0,6195985-0,7826153 =2,478394-0,7826153 approx0,5652597

Resposta

boxedR1(0,5)approx0,56526

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