Questão 03: Considere o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 0.0002 x_{1}+2 x_{2}=5 \\\\ 2 x_{1}+2 x_{2}=6 \end{array}\right.
e suponha que vamos resolver tal sistema linear em uma máquina com aritmética de ponto flutuante (APF) trabalhando com três dígitos (mantissa t=3 e base \beta=10 ), sem precisão dupla e aproximação por truncamento.
a) Verifique qual a solução do sistema será obtida por essa máquina se usamos a estratégia de escalonamento de Gauss sem pivoteamento parcial.
b) Verifique qual a solução do sistema será obtida por essa máquina se usamos a estratégia de escalonamento de Gauss com pivoteamento parcial.
c) As soluções obtidas estão corretas, isto é, resolve as equações do sistema?
Dica: lembre-se da primeira aula, um sistema de aritmética de ponto flutuante com t=3 e sem precisão dupla só armazena 3 dígitos ao longo das operações.

Passo 1

Temos o sistema
\begin{cases} 0{,}0002\,x_{1} + 2\,x_{2} = 5,\\\\ 2\,x_{1} + 2\,x_{2} = 6, \end{cases}
e queremos resolvê-lo em aritmética de ponto flutuante com t=3 dígitos na mantissa (base 10), truncando sem pivoteamento e depois com pivoteamento parcial.

Passo 2

Eliminação de Gauss sem pivoteamento parcial:
  1. O pivô inicial é a_{11}=0{,}0002. Calcula-se
m_{21} = \mathrm{fl}\Bigl(\frac{2}{0{,}0002}\Bigr) = \mathrm{fl}(10000) = 1{,}00\times10^{4}.
  1. Atualiza-se a segunda linha:
\tilde a_{22} = \mathrm{fl}\bigl(2 - (1{,}00\times10^{4})\cdot2\bigr) = \mathrm{fl}(2 - 2{,}00\times10^{4}) = \mathrm{fl}(-1{,}9998\times10^{4}) = -1{,}99\times10^{4},
\tilde b_{2} = \mathrm{fl}\bigl(6 - (1{,}00\times10^{4})\cdot5\bigr) = \mathrm{fl}(6 - 5{,}00\times10^{4}) = \mathrm{fl}(-4{,}9994\times10^{4}) = -4{,}99\times10^{4}.
  1. Retro-substituição:
x_{2} = \mathrm{fl}\Bigl(\frac{-4{,}99\times10^{4}}{-1{,}99\times10^{4}}\Bigr) = \mathrm{fl}(2{,}5075) = 2{,}50,
x_{1} = \mathrm{fl}\Bigl(\frac{5 - 2\cdot2{,}50}{0{,}0002}\Bigr) = \mathrm{fl}\Bigl(\frac{0}{0{,}0002}\Bigr) = 0.
Logo, sem pivoteamento parcial,
x_{1}=0,\quad x_{2}=2{,}50.

Passo 3

Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial:
  1. Compara |0{,}0002| e |2|; o maior é 2, então troca-se as linhas. Agora a_{11}=2, b_{1}=6.
  2. Calcula-se
m_{21} = \mathrm{fl}\Bigl(\frac{0{,}0002}{2}\Bigr) = \mathrm{fl}(0{,}0001) = 1{,}00\times10^{-4}.
  1. Atualiza-se a segunda linha:
\tilde a_{22} = \mathrm{fl}\bigl(2 - (1{,}00\times10^{-4})\cdot2\bigr) = \mathrm{fl}(2 - 0{,}0002) = \mathrm{fl}(1{,}9998) = 1{,}99,
\tilde b_{2} = \mathrm{fl}\bigl(5 - (1{,}00\times10^{-4})\cdot6\bigr) = \mathrm{fl}(5 - 0{,}0006) = \mathrm{fl}(4{,}9994) = 4{,}99.
  1. Retro-substituição:
x_{2} = \mathrm{fl}\Bigl(\frac{4{,}99}{1{,}99}\Bigr) = \mathrm{fl}(2{,}5075) = 2{,}50,
x_{1} = \mathrm{fl}\Bigl(\frac{6 - 2\cdot2{,}50}{2}\Bigr) = \mathrm{fl}\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr) = 0{,}50.
Logo, com pivoteamento parcial,
x_{1}=0{,}50,\quad x_{2}=2{,}50.

Passo 4

Verificação nas equações originais:
  • Para (x_{1},x_{2})=(0,\,2{,}50):
    eq. 1: 0{,}0002\cdot0 + 2\cdot2{,}50 = 5
    eq. 2: 2\cdot0 + 2\cdot2{,}50 = 5 \neq 6
  • Para (x_{1},x_{2})=(0{,}50,\,2{,}50):
    eq. 1: 0{,}0002\cdot0{,}50 + 2\cdot2{,}50 = 0{,}0001 + 5 = 5{,}0001 \neq 5
    eq. 2: 2\cdot0{,}50 + 2\cdot2{,}50 = 6
Portanto, nenhuma das duas soluções satisfaz exatamente ambas as equações.

Resposta

a) x_{1}=0,\;x_{2}=2{,}50 (sem pivoteamento parcial).
b) x_{1}=0{,}50,\;x_{2}=2{,}50 (com pivoteamento parcial).
c) Nenhuma das soluções resolve o sistema exatamente: a) falha na segunda equação; b) falha na primeira.

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