Questão 04: Resolva o seguinte sistema utilizando o método de eliminação de Gauss com pivoteamento parcial:
\left\{\begin{array}{rl} x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3} & =3 \\\\ 3 x_{1}+x_{2} & =4 \\\\ 3 x_{2}+4 x_{3} & =3 \end{array} \quad .\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=3,\\\\ 3x_{1}+x_{2}=4,\\\\ 3x_{2}+4x_{3}=3 \end{cases}
usando eliminação de Gauss com pivoteamento parcial, isto é, em cada coluna de pivô nós trocamos linhas para que o elemento de maior módulo fique na posição de pivô antes de eliminar abaixo.

Passo 2

Coluna 1: os candidatos a pivô são |1| (linha 1), |3| (linha 2) e |0| (linha 3). O maior é |3| na linha 2, então trocamos linha 1↔linha 2 e eliminamos abaixo:
Após troca, a matriz aumentada é
\left[ \begin{array}{ccc|c} 3 & 1 & 0 & 4\\\\ 1 & 2 & 3 & 3\\\\ 0 & 3 & 4 & 3 \end{array} \right].
Fator de eliminação para a nova linha 2:
f_{21}=\frac{1}{3}.
Aplicando L_2\leftarrow L_2 - f_{21}L_1 e L_3 já tem zero na coluna 1, resulta
\left[ \begin{array}{ccc|c} 3 & 1 & 0 & 4\\\\ 0 & \tfrac{5}{3} & 3 & \tfrac{5}{3}\\\\ 0 & 3 & 4 & 3 \end{array} \right].

Passo 3

Coluna 2 (linhas 2–3): comparamos \tfrac{5}{3} e 3. O maior módulo é 3 na linha 3, então trocamos linha 2↔linha 3 e depois eliminamos abaixo:
Após troca,
\left[ \begin{array}{ccc|c} 3 & 1 & 0 & 4\\\\ 0 & 3 & 4 & 3\\\\ 0 & \tfrac{5}{3} & 3 & \tfrac{5}{3} \end{array} \right].
Fator de eliminação para a nova linha 3:
f_{32}=\frac{\tfrac{5}{3}}{3}=\frac{5}{9}.
Aplicando L_3\leftarrow L_3 - f_{32}L_2
\left[ \begin{array}{ccc|c} 3 & 1 & 0 & 4\\\\ 0 & 3 & 4 & 3\\\\ 0 & 0 & \tfrac{7}{9} & 0 \end{array} \right].

Passo 4

Agora temos sistema triangular superior
\begin{cases} 3x_{1}+x_{2}=4,\\\\ 3x_{2}+4x_{3}=3,\\\ \tfrac{7}{9}x_{3}=0. \end{cases}
Resolvendo de baixo para cima:
\tfrac{7}{9}x_{3}=0\quad\Rightarrow\quad x_{3}=0,
3x_{2}+4\cdot0=3\quad\Rightarrow\quad x_{2}=1,
3x_{1}+1=4\quad\Rightarrow\quad x_{1}=1.

Resposta

x_{1}=1,\;x_{2}=1,\;x_{3}=0.

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