Considere a integral
I(a)=integral0^a x^2 e^-x d x
(a) Obtenha I (1) com duas casas decimais corretas usando a regra de Simpson.
(b) Calcule exatamente, a menos de erros de arrendondamento I(infty), usando quadratura gaussiana.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral I(1)=integral0^1x^2e^-xdx com duas casas decimais usando a regra de Simpson e depois calcular exatamente I(infty)=integral0^inftyx^2e^-xdx usando quadratura de Gauss (mais precisamente Gauss–Laguerre, já que o peso é e^-x).

Passo 2

Para aplicar Simpson em [0,1], escolhemos n=4 subintervalos (sempre par), então h=tfrac1-04=0.25. Definimos f(x)=x^2e^-x e calculamos:
xi=0,;0.25,;0.5,;0.75,;1
f0=f(0)=0,;f1approx0.04868,;f2approx0.15163,;f3approx0.26539,;f4approx0.36788
A regra de Simpson diz
I(1)approxh3l(f0+4f1+2f2+4f3+f4r)
Substituindo os valores:
I(1)approx0.253l(0+4cdot0.04868+2cdot0.15163+4cdot0.26539+0.36788r)approx0.1606
Arredondando para duas casas decimais fica 0.16.

Passo 3

Para I(infty)=integral0^inftyx^2e^-xdx, usamos a quadratura de Gauss–Laguerre de ordem n=2. Ela é exata para polinômios até grau 2n-1=3, então captura x^2 sem erro.
Os nós (raízes de L2(x)) e pesos são
x1,2=2mpraiz2, w1,2=2pmraiz24
Como o peso já está em e^-x, basta fazer
I(infty)approx w1x1^2+w2x2^2

Passo 4

Calculando
x1=2-raiz2approx0.5858,;w1=2+raiz24approx0.8536,
x2=2+raiz2approx3.4142,;w2=2-raiz24approx0.1464,
I(infty)approx0.8536cdot0.5858^2+0.1464cdot3.4142^2approx2.00
Isso coincide com Gamma(3)=2! =2.

Resposta

I(1)approx0.16, I(infty)=2

Exercícios relacionados