Problema 1. Sejam
números reais, com
. Calcular o polinômio
, para o qual a quantidade
seja mínima.
Passo 1
O enunciado pede pra encontrar o polinômio de 1º grau
que melhor se ajusta aos pontos
de modo a minimizar
. Isso é exatamente um problema de regressão linear por mínimos quadrados, em que vamos usar derivadas parciais para obter as condições de ótimo.
Passo 2
Para achar o mínimo de
, impomos as derivadas parciais iguais a zero. Primeiro, em relação a
:
Passo 3
Da equação anterior resulta:
Logo,
Passo 4
Agora a derivada em relação a
:
O que dá
Ou seja,
Passo 5
Temos então um sistema linear em
e
:
Resolvendo para
, eliminamos
e obtém-se
Passo 6
Finalmente, para
basta usar uma das equações, por exemplo
Resposta
As soluções que minimizam S são: