Problema 1. Sejam x0 números reais, com p(x)=M x+B. Calcular o polinômio S(M, B)=sumi=0^n(yi-M xi-B)^2 , para o qual a quantidade
seja mínima.

Passo 1

O enunciado pede pra encontrar o polinômio de 1º grau p(x)=M x + B que melhor se ajusta aos pontos (xi,yi) de modo a minimizar S(M,B)=sumi=0^n(yi - M xi - B)^2. Isso é exatamente um problema de regressão linear por mínimos quadrados, em que vamos usar derivadas parciais para obter as condições de ótimo.

Passo 2

Para achar o mínimo de S(M,B), impomos as derivadas parciais iguais a zero. Primeiro, em relação a B:
partial Spartial B= -2sumi=0^n (yi - M xi - B)=0

Passo 3

Da equação anterior resulta:
sumi=0^n yi - Msumi=0^n xi - (n+1)B = 0
Logo,
(n+1)B + Msumi=0^n xi = sumi=0^n yi

Passo 4

Agora a derivada em relação a M:
partial Spartial M= -2sumi=0^n xi(yi - M xi - B)=0
O que dá
sumi=0^n xi yi - Msumi=0^n xi^2 - Bsumi=0^n xi = 0
Ou seja,
Msumi=0^n xi^2 + Bsumi=0^n xi = sumi=0^n xi yi

Passo 5

Temos então um sistema linear em M e B:
(n+1)B + Msumi=0^n xi = sumi=0^n yi, Bsumi=0^n xi + Msumi=0^n xi^2 = sumi=0^n xi yi
Resolvendo para M, eliminamos B e obtém-se
M = (n+1)sumi=0^n xi yi - l(sumi=0^n xir)l(sumi=0^n yir)(n+1)sumi=0^n xi^2 - l(sumi=0^n xir)^2

Passo 6

Finalmente, para B basta usar uma das equações, por exemplo
B = 1n+1l(sumi=0^n yi - Msumi=0^n xir)

Resposta

As soluções que minimizam S são:
M = (n+1)sumi=0^n xi yi - l(sumi=0^n xir)l(sumi=0^n yir)(n+1)sumi=0^n xi^2 - l(sumi=0^n xir)^2,
B = 1n+1l(sumi=0^n yi - Msumi=0^n xir)

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